Ha egy hupikék törpikét fojtogatok, milyen színe lesz?

²

√

A kulcsészrevétel az, hogy ha p prímszám olyan p² < n, akkor p | n-et, hiszen ekkor p² összetett, és a feltétel miatt van közös osztója n-nel, és ez a közös osztó legalább p. Ez az észrevétel bármely p-re igaz, amire p < √n , következésképp a szorzatuk is osztja n-et.

Legyen tehát az első k prímszám olyan, hogy p(1), p(2), ..., p(k) < √n, de p(k+1) ≥ √n.

Kapjuk, hogy

p(1)*p(2)*...* p(k) ≤ n.

Igen ám, de a baloldi szorzat nevezetes szorzat, és nagy n-ekre e^{c*√n} nagyságrendű valamilyen c pozitív konstanssal. A jobboldal meg lineáris. Adódik, hogy ez az egyenlőtlenség csak véges sok n-re teljesülhet.

A kulcsészrevétel az, hogy ha p prímszám olyan p² < n, akkor p | n-et, hiszen ekkor p² összetett, és a feltétel miatt van közös osztója n-nel, és ez a közös osztó legalább p. Ez az észrevétel bármely p-re igaz, amire p < √n , következésképp a szorzatuk is osztja n-et.

Legyen tehát az első k prímszám olyan, hogy p(1), p(2), ..., p(k) < √n, de p(k+1) ≥ √n, azaz π(√n) = k

Kapjuk, hogy

p(1)*p(2)*...* p(k) ≤ n, amiből egyszerű becsléssel

2^(π(√ n)) ≤ n,

A lényeg innentől az, hogy ha n-et növeljük, a baloldali sokkal gyorsabban nő, mint a jobboldali, tehát csak véges sok n-re teljesülhet az egyenlőtlenség. Ennek belátásához a prímszámtételre van szükség. [link]

∡ ⊾ ☐ △ δ ⇒

(((δ:= PAC∡ ⇒ BCP∡ = δ.) ⇒ QPC∡ = 90°-δ ) ⇒ PQC∡ = δ )

A PC szakasz A-ból és Q-ból ugyanolyan szög ( =δ ) alatt látszik ⇒ PAQC☐ húrnégyszög.

180° = PAQ∡ + PCQ∡ ⇒ PAQ∡ = ⊾