Másodfoku egyenletnél ha azt vizsgálom hogy pl. mikor lesz az egyenletnek az egyik gyöke nulla akkor ezt kell néznem?

Ha minden áron a Viéte-formulával akarod vizsgálni, akkor úgy kell, ahogyan leírtad.

A p akkor lesz "tuti nulla", hogyha a paraméter a konstans tag, és máshol nincs. De például az x^2+px-5=0 egyenletnél hiába 0 a p értéke, attól még nem legy gyöke a 0 (és máskor sem).

Az igaz, hogy csak akkor lehet az egyenlet gyöke 0, hogyha c=0, ez a c/a=0 egyenletből is kijön. Arra viszont vigyázz, hogy az a semmik szín alatt nem lehet 0 - illetve lehet, de akkor már nem másodfokú az egyenlet.