Hol értelmezhetőek az alábbi kifejezések, ha az alaphalmaz a valós számok halmaza? Ebben segítsen valaki!

Az a lényeg, hogy a nevezőben álló kifejezések ne válhassanak nullává. Ez lényegében azt jelenti, hogy a megfelelő egyenleteket fel kell írni, megnézni, hogy milyen x értékekre veszik fel a nevezőben álló kifejezések a nulla értéket. Szóval a nevezőben álló kifejezések ,,zérushelyeit'', pontosabban gyökeit kell megkeresni.

A teljes kifejezés értelmezési tartománya nem más, mint a valós számok halmaza, KIVÉVE BELŐLE éppen az előbb említett ,,zérushelyeket'' (gyököket).

Példa:

x + ⅟ₓ kifejezés értelmezési tartománya:

A nevezőben levő kifejezések mikor válnak nullává?

Nevezőben csak az x kifejezés áll.

Segítségül az alábbi egyenletet kel használnunk:

x = 0

Ez az egyenlet olyan egyszerű, hogy önmaga megoldását adja,

Szóval ez az a hely, amit ki kell zárnunk

Az értelmezési tartomány: R\{0}

Nézzünk bonyolultabb példát:

(2x-3)/(5x+4)-(4x+2)/(3x-2)+2x kifejezés értelmezési tartománya

[link]

A nevezőben levő kifejezések mikor válnak nullává?

Nevezőben csak az alábbi kifejezések állnak:

1)

5x+4

2)

3x-2

Segítségül az alábbi egyenleteket kell használnunk:

1)

5x + 4 = 0

megoldása: x = -⅘

2)

3x - 2 = 0

megoldása: x = ⅔

Az a lényeg, hogy ezek éppen a ,,tiltott értékek'', mert éppen ezekre válik valamelyik nevező nullává. És egyik nevező sem válhat nullává, hiszen ha a két tört közül bármelyiknek is nulla áll a nevezőjében, akkor máris lehetetlenné válik a a feladatban szereplő teljes kifejezés értelmezése.

Szóval a lényeg az, hogy minden valós szám meg van engedve, kivéve éppen ezek. Mind a kettőt ki kell zárnunk.

A teljes kifejezés értelmezési tartománya tehát: R\{-⅘; ⅔}

Kissé arról van szó, hogy afféle fordított világba lépünk be, mint Mézga Aladár az Antivilágban:

[link]

(nálam nem jön be, de megvan a Youtube-on is, sajnos csak németül:)

http://www.youtube.com/watch?v=eAgMvDYuSdo&feature=related

Folyékony tengerpart, szilárd víz, halász, aki a szilárd vízen járkál, és hálóját a folyékony partra veti ki, abban pedig szárazföldi állatokat (madarakat) fog. Felfelé ható nehézkedés, plafonon mászkáló emberek. Az evés közben növekvő, nem pedig fogyó kenyérdarabok (5:15-5:40). Mindenki király, kivéve a munkást, akiből csak egy van, és hatalma van.

Szóval a legtöbb matekpéldában, ahol egyenlet van (mondjuk x-re), ott általában valami egyenlőség van feladva, és mi azokat a számokat keressük, amelyeket x helyébe írva, az egyenlőség épp teljesül. Szóval megoldásokat keresünk, eredményképp pedig általában végül felsorolunk néhány konkrét számot, hogy x lehet ez, vagy az is, vagy még amaz is, más pedig nem.

Ebben a példában azonban sok minden szinte pont fordítva van. Nem egyenlet van megadva, csak egy kifejezés, és nem megoldásokat keresünk, hanem kikötéseket. Kikötéseket kell tennünk x-re, szóval hogy mik azok a számok, amiket x helyébe írva, a kifejezés értelmetlenné válik.

Mivel általában a nullával való osztás tud értelmetlenné tenni egy kifejezést, ezért itt most a feladat lényegében az, hogy a nevezőben álló kifejezések NE lehessenek nullák. (Majd később esetleg vesztek gyökös, tangenses, logaritmusos példákat is, ott egy picit bonyolódik a dolog, de az alapelvek hasonlóak.)

Az említett korábbi törtes példáknál tulajdonképpen nem egyenlőségeket, hanem épp fordítva, ,,nem-egyenlőségeket'' kell megoldanunk. Megoldásképp pedig végül nem számokat, hanem kikötéseket kapunk, afféle ,,nem-számokat'', vagyis tiltott értékeket.

A ,,nem-egyenlőségek'' tulajdonképpen nem mások, mint különleges egyenlőtlenségek. Nem arról szólnak, egy kifejezés az x milyen értékeire válik egyenlővé valamivel, sőt még csak nem is arról szól, hogy mikor lesz kisebb, vagy nagyobb valaminél. Hanem arról szól a dolog, hogy valami mikor lesz KÜLÖNBÖZŐ valamitől (konkrétan nullától).

Persze, a megkövetelt különbözőség az esetek többségében teljesül (hiszen Murphy törvénye szerint elrontani valamit könnyebb, mint az, hogy valami pont összepasszoljon). Ezért a megoldás nem úgy néz ki, hogy x ez vagy az lehet (felsorolva a lehetőségeket), hanem pont fordítva, a megoldás úgy néz majd ki, hogy x szinte minden szám lehet, kivéve ez meg ez, és itt meg pont azt a pár kivételt soroljuk fel, ami nem lehet, ami ,,meg van tiltva''.

Egyszóval: a ,,nem-egyenlőségeket'' is meg lehet oldani, sőt általában szinte ugyanolyan módszerekkel oldjuk meg, mint az egyenlőségeket, de az ,,eredmény'' nem valamiféle konkrét értékek lehetősége x-re, hanem éppen ellenkezőleg: a megoldás valamiféle ,,kikötés'' lesz x-re: x nem lehet ez meg ez.

Konkrétan vegyük ismét a harmadik példát:

[link]

itt ugye a nevezőkben az

5x+4

és a

3x-2

kifejezések állnak. Mivel a nevezőben állnak, nem válhatnak nullává. No hát akkor az alábbi ,,nem-egyenlőségeket'' kell ,,megoldanunk:

5x + 4 ≠ 0

3x - 2 ≠ 0

Ezeket a ,,nem-egyenlőségeket (nagyon kevés kivételtől eltekintve) tulajdonképpen éppen ugyanúgy kell megoldani, mintha egyenlőség lenne. Ugyanis a legtöbb elv, amit az egyenlőségek megoldásánál alkalmazni szoktunk (pl. mérlegelv), itt is alkalmazható:

5x + 4 ≠ 0 | - 4

5x ≠ -4 | : 5

x ≠ -⅘

- - - - - - -

A másik ,,nem-egyenlőség'' ,,megoldása'':

3x - 2 ≠ 0 | + 2

3x ≠ 2 | : 3

x ≠ ⅔

- - - - - - -

A két ,,nem-egyenlőség'' megoldását (a két kikötést) úgy kell ,,egybeérteni'', hogy mind a két kikötésnek érvényesülnie kell (hiszen egyik nevezőbe sem kerülhet nulla). Tehát ha az egyik kikötés azt mondta, hogy x nem lehet ez, a másik kikötés meg azt mondta, hogy x nem lehet az, akkor azt együtt úgy kell érteni, hogy x ez sem lehet, meg az sem lehet.

Tehát itt a két kikötést úgy kell egybeérteni, hogy x nem lehet sem -⅘, sem ⅔:

x ≠ -⅘ és x ≠ ⅔

= = = = = = = = =

Nohát, így lehet leírni a dolgot jelekkel, szóval ez a megoldás menete. A ,,nem-egyenlőségek'' elég jól kifejezik a lényeget. A megoldás tehát nem a lehetőségek felsorolása, hanem pont fordítva: a kikötésesek felsorolása: egy, vagy akár több kikötés is, amiknek mindnek teljesülniük kell, vagyis x sem ez, sem az, sem amaz nem lehet.

Nem jelent lényeges különbséget az sem, ha másodfokú egyenlet van a nevezőben (például az Általad most említett példában x² és x²-4),

[link]

akkor egész egyszerűen ezekre is felírjuk a megfelelő ,,nem-egyenlőségeket'':

Első ,,nem-egyenlőség'':

x² ≠ 0

Második ,,nem-egyenlőség'':

x²-4 ≠ 0

Az első megoldása egyszerű: a 0-tól különböző számoknak a négyzete is különbözik nullától, és maga a nulla pedig nullát ad négyzetül. Vagyis ha valaminek a négyzete nem szabad hogy nulla legyen, akkor az az illető dolog maga sem lehet nulla, bármi más viszont nyugodtan lehet.

Tehát az

x² ≠ 0

megkötésből visszakövetkeztethetünk a

x ≠ 0

kikötésre.

A másik ,,nem-egyenlőség'':

x² - 4 ≠ 0

Most itt az segít tovább a levezetésben, ha át tudjuk úgy rendezni, hogy az egyik oldalon csak az x² álljon, a másik oldalon pedig valami konkrét szám:

x²-4 ≠ 0 | + 4

x² ≠ 4

Itt már láthatjuk a megoldást, hiszen tudjuk, hogy csak a 2-nek és a -2-nek a négyzete lehet négy, minden más szám négyzete különbözik négytől.

Tehát az

x² ≠ 4

megkötésből visszakövetkeztethetünk az

x ≠ 2 és x ≠ -2

kikötésre.

Egybeértve az eddig visszakövetkeztetett kikötéseket:

x ≠ ⅔ és x ≠ 2 és x ≠ -2

= = = = = = = = = = = = = = =

Vagyis x helyébe bármely valós szám helyettesíthető, KIVÉVE az ⅔, 2, -2 bármelyikét.

Szóval kicsit szokatlanok ezek a ,,nem-egyenlőségek'', de többnyire ugyanúgy oldjuk meg őket, mint a nekik megfelelő egyenlőségeket.

Ha mégis zavar a ,,nem-egyenlőségek'' fogalma, akkor lehet írni helyettük egyenlőségeket is, de akkor nagyon kell figyelni rá, hogy valahogy le legyen világosan írva, hogy itt mindent pont fordítva kell érteni, és nem a megengedett, hanem pont fordítva, a ,,tiltott'' behelyettesítésekről van szó.

Majd még az emeletes törtek lesznek érdekesek, ahol a nevezőben olyan tört van, aminek neki magának is van külön nevezője. Ekkor a kikötéseket mind a ,,kicsi'', mind a ,,nagy'' nevezőre meg kell tenni.

Azt a példát, ahol négyzetes kifejezések is szerepelnek a nevezőben, elrontottam egy apró helyen, itt javítom:

[link]

A nevezőben szereplő kifejezések:

x²

1 - 3x

x² - 4

Egész egyszerűen ezekre is felírjuk a megfelelő ,,nem-egyenlőségeket'':

Első ,,nem-egyenlőség'':

x² ≠ 0

Második ,,nem-egyenlőség'':

1-3x ≠ 0

Harmadik ,,nem-egyenlőség'':

x²-4 ≠ 0

Az első megoldása egyszerű: a 0-tól különböző számoknak a négyzete is különbözik nullától, és maga a nulla pedig nullát ad négyzetül. Vagyis ha valaminek a négyzete nem szabad hogy nulla legyen, akkor az az illető dolog maga sem lehet nulla, bármi más viszont nyugodtan lehet.

Tehát az

x² ≠ 0

megkötésből visszakövetkeztethetünk a

x ≠ 0

kikötésre. Ennek a ,,nem-egyenlőségnek'' a megoldása tehát az alábbi kikötés:

x ≠ 0

- - - -

A második ,,nem-egyenlőség'' nem tartalmaz négyzetes kifejezést, meg tudjuk oldani a szokásos eszközökkel is (mérlegelv):

1-3x ≠ 0 | + 3x

1 ≠ 3x | : 3

⅓ ≠ x

x ≠ ⅓

Ennek a ,,nem-egyenlőségnek'' a megoldása tehát az alábbi kikötés:

x ≠ ⅓

- - - - -

A harmadik ,,nem-egyenlőség'':

x² - 4 ≠ 0

Most itt az segít tovább a levezetésben, ha át tudjuk úgy rendezni, hogy az egyik oldalon csak az x² álljon, a másik oldalon pedig valami konkrét szám:

x²-4 ≠ 0 | + 4

x² ≠ 4

Itt már láthatjuk a megoldást, hiszen tudjuk, hogy csak a 2-nek és a -2-nek a négyzete lehet négy, minden más szám négyzete különbözik négytől.

Tehát az

x² ≠ 4

megkötésből visszakövetkeztethetünk az

x ≠ 2 és x ≠ -2

kikötésre. Ennek a ,,nem-egyenlőségnek'' a megoldása tehát az alábbi kikötés:

x ≠ 2 és x ≠ -2

- - - - - - - - -

Egybeértve az eddig visszakövetkeztetett kikötéseket:

x ≠ 0 és x ≠ ⅓ és x ≠ 2 és x ≠ -2

= = = = = = = = = = = = = = = = = = =

Vagyis x helyébe bármely valós szám helyettesíthető, KIVÉVE a 0, ⅓, 2, -2 bármelyikét.

Egyelőre nem tudom pontosan ellenőriztetni a Wolfram Alpha-val, de kértem tőle egy nagyított ábrát, és ezen látszik (szemre), hogy valóban épp a felsorolt értékeknél ,,ugrik ki'' a függvény ábrája a képből:

[link]