A 2/x/ illetve a /2x/ függvény képe egyforma?

A két függvény képe

[link]

[link]

egyforma. Sőt, a második esetben a Wolfram Alpha meg is említi: teljes jogos (komputer)algebrai átalakításnak számít az, ha valaki a |2x| alakot átírja 2|x| alakra (vagy vissza).

Ha x helyébe pozitív számot helyettesítünk (mondjuk 5-öt), akkor |5| egyszerűen magával a számmal egyenlő (5). Ennek kétszerese 10. Látjuk már, hogy

2⋅|5| = 2⋅5 = 10.

Ami |2⋅5| értékét illeti, hát az persze |10|. Mivel maga 10 is pozitív szám, ezért az ő abszolútértéke is megegyezik vele magával: |10| = 10. Látjuk már, hogy

|2⋅5| = |10| = 10.

Vagyis: 2⋅|5| kiszámításánál ugyanúgy 10-et kaptunk,

mint |2⋅5| kiszámításánál.

Fontos, hogy a fenti gondolatmenet minden pozitív szám esetén igaz. Hiszen semmi különölegeset nem használtunk ki az érvelésben arról, hogy éppen 5-öt helyettesítettünk x helyébe. Csak annyit használtunk ki, hogy pozitív számról van szó, és a pozitív számokról meg az alábbi két tényt tudjuk:

1) pozitív szám abszolútértéke önmaga

2) pozitív szám kétszerese is valami (más) pozitív szám

A dolog tehát ugyanígy működne 6-tal, 7-tel is stb..., π-vel, ¼-del, ½-del, ¾-del szóval tetszőleges pozitív számmal.

Külön ki lehet próbálni, hogy a 0 esetén is működik a dolog:

2⋅|0| = 2⋅0 = 0

|2⋅0| = |0| = 0

vagyis

2⋅|0| = |2⋅0|

Immár elmondhatjuk, hogy a negatív számokat kivéve, minden számra igaz, hogy x helyébe helyettesítve

2⋅|x| = |2⋅x|

A negatív számok esetét még meg kell vizsgálnunk.

Ha x helyébe negatív számot helyettesítünk (mondjuk -5-öt), akkor |-5| egyszerűen a ,,ellentettjével'' egyenlő, és mivel negatív számról volt szó, ennek ellentettje a ,,pozitív megfelelőjét'' jelenti, vagyis jelen esetben +5-öt. Ennek kétszerese 10. Látjuk már, hogy

2⋅|-5| = 2⋅5 = 10.

Ami |2⋅(-5)| értékét illeti, hát az persze |-10|. Mivel maga -10 is negatív szám, ezért az ő abszolútértékét is úgy számoljuk ki, mint az előbb láttuk: negatív számról lévén szó, abszolutértéke megegyezik ellentettjével, vagyis itt ,,,pozitív megfelelőjével'': |-10| = +10 megegyezik vele magával: |10| = 10. Látjuk már, hogy

|2⋅(-5)| = |-10| = 10.

Vagyis: 2⋅|-5| kiszámításánál ugyanúgy 10-et kaptunk,

mint |2⋅(-5)| kiszámításánál.

Fontos, hogy a fenti gondolatmenet minden negatív szám esetén igaz. Hiszen semmi különlegeset nem használtunk ki az érvelésben arról, hogy éppen -5-öt helyettesítettünk x helyébe. Csak annyit használtunk ki, hogy negatív számról van szó, és a pozitív számokról meg az alábbiakat tudjuk (három tényt):

1) negatív szám abszolútértéke nem más, mint az ellentettje, amit (negatív számról lévén szó) úgy is tekinthetünk itt, hogy a ,,pozitív megfelelője''

2) negatív szám kétszerese is valami (más) negatív szám

A dolog tehát ugyanígy működne -6-tal, -7-tel is stb..., -π-vel, -¼-del, -½-del, -¾-del, szóval tetszőleges negatív számmal.

Tehát immár elmondhatjuk, hogy a negatív számokra is igaz, hogy x helyébe helyettesítve

2⋅|x| = |2⋅x|

Ugyanezt korábban pozitív számokra is beláttuk, és a nullára is. Tehát a dolog tetszőleges valós számra igaz.

Egyik mondat javítása:

Ami |2⋅(-5)| értékét illeti, hát az persze |-10|. Mivel maga -10 is negatív szám, ezért az ő abszolútértékét is úgy számoljuk ki, mint az előbb láttuk: negatív számról lévén szó, abszolútértéke megegyezik ellentettjével, vagyis itt ,,,pozitív megfelelőjével'': |-10| = +10. Látjuk már, hogy

|2⋅(-5)| = |-10| = 10

Hát igen, zavaró és szokatlan az elemi algebra állandó bűvészkedése a betűkkel, meg a mindenféle betűs kifejezés átirogatása. Meg az, hogy állandóan olyan dolgok vannak leírva a könyvben, hogy ez meg ez a kifejezés átalakítható abba meg amabba a kifejezésbe, és visszafelé is. És konkrét számok helyett már állandóan csak betűk szerepelnek. Az állandó hivatkozás mindenféle betűkre, amiknél még csak nem is tudjuk, hogy milyen konkrét számot kell érteni a betű helyébe, mert a betű vagy valami éppen keresett ismeretlent jelent, vagy pedig teljesen tetszőleges számot, amikre általában is igaz az állított dolog. Szóval ezek a betűs jelölések szokatlanok lehetnek. Főleg amikor már ott tart a dolog, hogy polinomos törteket kell közös nevezőre hozni, ahol már tényleg konkrét számok helyett ,,betűs kifejezések'' közös nevezőjét kell meghatározni.

Arra lehet gondolni, hogy néhány esetben tulajdonképpen egyszerűen csak az alábbi helyzetről van szó:

Az ismert zsemlés vicc:

― Hány zsemlét tudsz megenni éhgyomorra?

― Ötöt.

― Csak egyet, mert a többit nmár em éhgyomorra eszed!

Tetszik neki a vicc, el tovább akarja mondani a barátjának is,

― Hány szemlét tudsz megenni éhomra?

― Nyolcat.

― De kár, ha most ötöt mondtál volna, akkor most egy nagyon jó vicc zárópoénját tudtam volna elmondani!

No (többek között) ez (is) a betűkkel való jelölés haszna: elvonatkoztatás a konkrét részletektől ott, ahol lényegtelenek, és a részletek helyett inkább valami általánosabb elv kiemelése. Amiről immár biztosak vagyunk, hogy általában is működik. Erre jól használható a betűkkel való jelölés ötlete. Persze nem csak ez lehet a betűk szerep az algebrában, de többek között erre is használjuk őket.

Azt az egészet persze csak azért írtam le, azért jön ez ide, mert azt is mondhatjuk, hogy az

2⋅|x| = |2⋅x|

azonosságot elfogadhatjuk érvényes algebrai átalakításnak (vagyis szabadon írhatjuk át az egyik kifejezést a másik alakba, és vissza).

Egyébként a dolog igaz kétszerezés helyett háromszorozásra is:

3⋅|x| = |3⋅x|

de előjelet is váltó szorzás esetén már nem:

(-2)⋅|x| ≢ |(-2)⋅x|

(Az ≢ jel alatt itt azt értem, hogy a két érték persze egyes ,,különleges'' x-ekre megegyezhet ,,véletlenül'' (pl x := 0-ra), de az összefüggés teljes általában nem igaz, és nem is szabad az x éppen aktuális konkrét értékének vizsgálata nélkül átírni őket egymásba)

Vagy legegyszerűbben egy mondatban:

Az abszolútérték-függvény szorzás tartó, így

|X*Y|=|X|*|Y|, másképp: abs(X*Y)=abs(X)*abs(Y)

Igen, ez átvezet az algebra szépségeinek területére (egy függvény, ami megtart egy STRUKTÚRÁT). Ezt így még nem mertem bevezetni.

Annyit akartam csak említeni, hogy mindegy:

ELŐBB szorzom kettővel, és UTÁNA veszem az abszolútértékét

vagy

ELŐBB veszem az abszolútértékét, és UTÁNA szorzom kettővel

Nem minden műveletre, függvényre teljesül ez a szép összefüggés, de pont a pozitív számmal való szorzásra, és az abszolútértékre igen.

Mindegy, hogy előbb teszem a sót a palacsintatésztába, és aztán a cukrot, vagy fordítva.

Persze itt sem mindig teljesül ez a szabadság: nem mindegy, hogy előbb húzom fel a zoknit, aztán a cipőt, vagy fordítva.

Éppen ezért, mivel nem általános az efféle szabadság, ezért érdekesnek tekinthetjük azokat az eseteket, ahol mégis.