Egy 9 dm^3 térfogatú szabályos hatoldalú gúla oldaléle az alapsíkkal 72°-os szöget zár be.Milyen hosszúságú az oldaléle?

Legyen a gúla alapéle x, ekkor a leghosszabb átlója 2x hosszúságú (ez csak a szabályos hatszög esetén van így), magassága legyen m, mindenki dm-ben értve. Az alaplap területét x függvényében fel tudjuk írni, így a térfogatot x és m függvényében.

-Az alaplap területe: 6*(x^2*gyök(3)/4)

Így a térfogat:

I. 9 = 6*(x^2*gyök(3)/4)*m / 3

Ha félbevágjuk a gúlát az alaplapra merőlegesen az egyik leghosszabb alaplapi átló mentén, akkor a vágás helyén egy egyenlő szárú háromszög ketletkezik, melynek alapja 2x hosszú, magassága m, az átfogója megegyezik a test oldaléleivel (ez legyen o). Ha behúzzuk az alapra merőleges magasságát, akkor derékszögű háromszögeket kapunk, melyekben ezt tudjuk felírni:

II. tg(72°) = m/x

Az I. és II. egyenlet egyenletrendszert alkot. Érdemes a két egyenletet eloszatni egymással, ekkor m kiesik, és ez marad:

9/tg(72°) = x*6*(x^2*gyök(3)/4) / 3

Ennek pontos megoldása:

x = köbgyök[ 18/(gyök(3)*tg(72°)) ]

Visszatérve a fél egyenlő szárú háromszöghöz, ami derékszög, fel tudjuk írni a 72°-os szög koszinuszát:

cos(72°) = x/o, vagyis

cos(72°) = köbgyök[ 18/(gyök(3)*tg(72°)) ]/o, vagyis

o = köbgyök[ 18/(gyök(3)*tg(72°)) ]/cos(72°), amit lehet valahova kerekíteni;

o =~ 4,8549 dm.