Mennyi az a,b,c , ha 7a^2+35b^2+61c=2024 ? a,b és c prímszámok!

Ha a;b;c közül mindhárom páratlan lenne, akkor öszegük is páratlan lenne. Tehát vagy pontosan az egyik, vagy mindhárom páros kell, hogy legyen.

Innen esetszétválasztással nem nehéz befejezni.

35b^2 tűnik a legdominánsabbnak tagnak. Ezért talán b-re jöhet szóba a legkevesebb lehetőség. Úgymint 7,5,3 vagy 2.

Vonjuk le 35b^2-et a 2024-ből. Az eredmény: 309, 1149, 1709 vagy 1884.

Osszuk ezeket 7-tel és vonogassunk le belőlük 61/7-et. Az utóbbi számológéppel viszonylag könnyen megvalósítható. Csak az egyenlőségjelet kell nyomogatnunk.

Addig csináljuk, amig el nem fogynak vagy négyzetszámot nem kapunk.

Csak két ilyen négyzetszám jön ki a^2-re, a 16 és a 121.

A megoldások:

7*4^2+35*5^2+61*c=2024, ahol c=17

7*11^2+35*2^2+61*c=2024, ahol c=17.

Munkásnak tűnik, de néhány perc alatt ki lehet számolni. :-)

Bocs.

A 7*4^2+35*5^2+61*c=2024, ahol c=17 természetesen nem jó megoldás. A 4 nem prímszám.

1) Meghatározzuk az egyes tagok legkisebb értékét a legkisebb prímszám (2) segítségével.

7a^2 = 7 * 2 ^ 2 = 28

35b^2 = 35 * 2 ^ 2 = 140

61c = 61 * 2 = 122

2) Meghatározzuk a, b és c legnagyobb lehetséges prímszám értékét.

a(max) = ((2024 - 140 - 122) / 7) ^ 0,5 = 15,86 > 13

b(max) = ((2024 - 28 - 122) / 35) ^ 0,5 = 7,32 > 7

c(max) = (2024 - 28 - 140) / 61 = 30,42 > 29

3a) "a"-nak 6 lehetséges értéke van: 2,3,5,7,11,13

3b) "b"-nek 4 lehetséges értéke van: 2,3,5,7

3c) "c"-nek 10 lehetséges értéke van: 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29

4) A kevesebb esetszám miatt "a" és "b" lehetséges értékpárosait (6*4=24 db) érdemes megvizsgálni, hogy mely értékpár esetén kapunk egy 61-gyel osztható számot:

Vagyis 2024 - 7a^2 - 35b^2 eredménye osztható-e 61-gyel.

a = 11, b = 2 értékpár esetén jön ki egyedül ilyen szám:

2024 - 7 * 11^2 - 35 * 2^2 = 2024 - 847 - 140 = 1037 = 61 * 17

Eredmény: a = 11, b = 2, c = 17