Mi az, hogy függvény, és hogyan tanuljam őket?

A hozzárendelés az a(z egyirányú) művelet, ami két halmaz elemeit "kapcsolja össze" valamilyen utasítás alapján.

Például legyen az egyik halmazunk az A:={országok zászlói}, ami a létező összes ország zászlóját tartalmazza, a másik halmaz pedig legyen a B:={színek}, ami a színeket tartalmazza.

Az A->B hozzárendelés azt jelenti, hogy az A halmaz elemeihez hozzárendeljük a B halmaz elemeit (a megadott szabálynak megfelelően), jelen esetben az országok zászlóihoz rendeljük a színeket aszerint, hogy melyik színt tartalmazzák. Ennek megfelelően a magyar zászlóhoz a piros, a fehér és a zöld színeket rendeljük.

Az irányt meg is lehet fordítani, vagyis B->A is létezik, ekkor a színekhez rendeljük a zászlókat aszerint, hogy melyik zászló tartalmazza (de persze bármilyen másik szabály is megadható lenne). Ekkor a piros színhez rendeljük a magyar, a svájci, a kínai, a ... zászlót.

Amelyik halmazBÓL mutat a hozzárendelés, azt hívjuk őshalmaznak, amelyik halmazBA mutat, azt pedig képhalmaznak.

Mivel azt látjuk, hogy a hozzárendelés során több elemhez is több elemet rendeltünk (vagyis a magyar zászlóhoz 3 színt), ezért ezt nem egyértelmű hozzárendelésnek nevezzük.

A következőkben csináljuk azt, hogy a B halmazt lecseréljük a pozitív egész számok halmazára, vagyis B:={pozitív egész számok}, és az A->B hozzárendelésnél aszerint "párosítunk", hogy az adott ország zászlójában hány szín van. Ennek megfelelően a magyar zászlóhoz a 3-as számot rendeljük. Ebben az esetben már egyértelmű hozzárendelést fogunk kapni, mivel mindegyik zászlóhoz csak egyféle szám rendelhető. Fordított esetben viszont nem lesz ugyanez igaz, vagyis ha a B->A hozzárendelést vizsgáljuk, akkor például a 3-as számhoz a magyar zászlón kívül még a német zászlót is rendeljük, és mivel itt már legalább 2 hozzárendelést csináltunk, ezért ez már nem lesz egyértelmű hozzárendelés.

Azért érdekes nekünk, hogy egyértelmű vagy sem, mert az egyértelmű hozzárendeléseket hívjuk függvényeknek. Tehát a zászló->szám hozzárendelés egy függvény lesz.

Olyan hozzárendelést is tudunk mondani, ahol oda-vissza egyértelmű hozzárendelést kapunk; például A:={országok} és B:={világ fővárosai}, akkor mindenkinek pontosan egy hozzárendelés jut, mivel minden országnak 1 fővárosa van, és minden főváros 1 ország fővárosa. Ezt hívjuk kölcsönösen egyértelmű hozzárendelésnek, és mivel az egyértelmű hozzárendelés egyben függvény is, ezért kölcsönösen egyértelmű függvénynek.

A következő lépés, hogy különféle számhalmazok elemeit rendeljük egymáshoz, ekkor jön képbe a koordinátarendszer. Valamint az őshalmaz és képhalmaz kifejezéseket leváltja az értelmezési tartomány és az értékkészlet. Tanulmányaid során találkozhatsz olyan kifejezésekkel, hogy szürjektív, injektív, bijektív függvények, ezek annyira nem lesznek neked fontosak.

A függvényeket kell tudni ábrázolni koordináta-rendszerben. Mindegyik esetben meg van adva, hogy mikor, mi alapján lehet ábrázolni őket. A főbb függvények benne vannak a függvénytáblázatban, ahogy ott sorrendben látod őket, olyan sorrendben érdemes tanulni.

Elsőként a lineáris függvényekkel kell megismerkedned, hogy azokat hogyan lehet ábrázolni. A lineáris függvény ábrázolása sok dologban el fog térni a többi függvény ábrázolásától.

Az összes többi fügvény ábrázolhatóságához az úgynevezett függvénytranszformációkkal kell tisztában lenned. Ezen kívül a függvényeket jellemezned is kell tudni (értelmezési tartomány, értékkészlet, zérushely, szélsőérték, monotonitás, invertálhatóság, paritás, periodikusság, csak hogy a fontosabbakat említsem).

Ha ezeket tudod, akkor nagy meglepetés nem érhet az érettségin.