Koordináta geometria?

x-2y=2=0 ???

Ha a két szár egyenesének azonos hosszúságú normálvektorát összeadod, akkor az alap normálvektorára merőleges vektort kell kapnod. Ebből kiszámolható a másik szár normálvektora.

Utána már csak be kell helyettesíteni a pont koordinátáit és megvan a konstans tag.

4: Én nem bírtam követni krwcko gondolatmenetét, az én megoldásom menete a következő (x-2y=2-t feltételezve):

A két szár normáljának összege az alap normáljának irányát adja meg, ami gyakorlatilag az alaphoz tartozó magasság irányvektora: ha a magasság és az alap metszéspontjából húzod a két azonos hosszúságú, egy-egy szárra merőleges vektort, akkor egyértelművé válik, hogy ezek összege a magasságvonalra fog esni. A hossza azonban ismeretlen lesz. Az összefüggés tehát így szól, egységnyi hosszúságú normálvektorokat feltételezve:

p*na = nb + nc, ahol p az alap normálvektorának hossza, na az alap egységnyi normálvektora, nb és nc pedig a szárak egységnyi normálvektorai.

Ebből a kérdéses nb-t kifejezve:

nb = p*na – nc

Fontos, hogy nb és nc azonos hosszúságú, jelen esetben egységvektor legyen, ezért elő kell írnunk, hogy |nb|=1. Ez Pithagorasszal kifejtve:

nbx² + nby² = 1, ahol nbx és nby a b oldal normálvektorának x ill. y összetevője. E két összefüggésből három egyenlet írható fel:

nbx = p*nax – ncx

nby = p*nay – ncy

nbx² + nby² = 1

Az első kettőt a harmadikba helyettesítve megkapjuk p értékét, hiszen nax, nay, ncx, ncy értéke mind ismert. A másodfokú egyenlet egyik gyöke 0 lesz, ami 0 hosszúságú magasságot jelentene, így nem kell vele foglalkoznunk. A másik gyöke p = –√10/5 ≈ –0.63245.

Ezt az első két egyenletbe visszahelyettesítve megkapjuk az egységnyi nb összetevőit: nb = (–2√5/5; √5/5), ami szebb formában (–2; 1) ill. (2; –1).

Ebből az M-en áthaladó egyenes már könnyen felírható: 2x–y=–4

Az ilyen feladatoknàl sokszor segítséget tud nyújtani az, hogy körzővel-vonalzóval hogyan szerkesztenénk meg;

1. lépés: az alap egyenesére tetszőleges merőlegest állítunk.

2. lépés: az előbbi egyenesre tükrözzük a szár egyenesét, ezzel azt a másik egyenest kapjuk, amelyik ugyanakkora szöget zár be az alap egyenesével.

3. lépés: az előbb kapott egyenest eltoljuk a megadott pontba. Ahol ez a három egyenes páronként metszi egymást, ott lesznek a háromszög csúcsai.

Ennek megfelelően egy lehetséges megoldás;

-Az alap egyenesére állítunk egy merőlegest. Ehhez válasszunk egy tetszőleges pontot az alap egyeneséről, egy irányvektora az alap normálvektora lesz, ami kiolvasható az egyenletéből.

-Lehet, hogy lehet direkt módon is tükrözni egyenest egyenesre, ezt nem tudom, de megtehetjük azt, hogy a szár egyeneséről kiválasztunk két pontot, ezeket tükrözzük a merőlegesre, majd a tükörképekre egyenest illesztünk. Ez az egyenes lesz párhuzamos a másik szárral.

-Innen már nincs nehéz dolgunk a szár egyenesének meghatározásához.

Másik, kicsit egyszerűbb megoldás;

-Először kiszámoljuk az egyenesek metszéspontját, ami a háromszög egy csúcsát adja.

-Az adott ponton keresztül húzzunk párhuzamos egyenest az alappal. Ez az egyenes metszi a szár egyenesét valahol, ezt is kiszámoljuk.

-Az adott pont és a kapott pont egymásnak tükörképei a háromszög alaphoz tartozó magasságára nézve. Emiatt az ezek által alkotott szakasz felezőpontja a háromszög szimmetriatengelyén van.

-Az előbbiek alapján van elég adatunk, hogy felírjuk a szimmetriatengely egyenletét, ami egy-egy pontban metszi az alap és a szár egyenesét. Utóbbi metszéspont a háromszög egy csúcsa, a másik a magasság talppontja.

-Innentől csak a másik csúcsot kell meghatároznunk, erről azt tudjuk, hogy a legelső metszéspont a tükörképe a magasságra nézve, az általuk alkotott szakasz felezőpontja ismert (a talppont), így a felezőpont képletével könnyen lehet számolni.

-Így pedig a háromszög összes csúcsa ismert, tehát a harmadik oldal egyenes egyenlete is felírható.

Köregyenletes megoldás:

-Itt is kell a két egyenes metszéspontja.

-Válasszunk a szár egyeneséről egy pontot (de az előbbi metszésponttól eltérő). Ha ez megvan, akkor írjuk fel annak a körnek az egyenletét, amelyiknek középpontja a választott pont, sugara a választott pont és a metszéspont távolsága.

-A kör metszi az alap egyenesét egy másik pontban, ezt számoljuk ki.

-Az így kapott metszéspont és a választott pont által meghatározott egyenes párhuzamos a keresett egyenessel, tehát a pontok által meghatározott irányvektor egyben a keresett egyenes irányvektora is lesz.

-Az irányvektor és az egyenes egy pontjának ismeretében fel tudjuk írni az egyenes egyenletét.

"Én nem bírtam követni krwcko gondolatmenetét..."

Legyen a másik szár keresett egyenlete y=mx+b. A normálvektora (-m;1)

"Ha a két szár egyenesének azonos hosszúságú normálvektorát összeadod,..."

(1;-2)/sqrt(5)+(-m;1)sqrt(m^2+1) ez a két szár normálvektorának összege.

"akkor az alap normálvektorára merőleges vektort kell kapnod."

(1;-2)/sqrt(5)+(-m;1)sqrt(m^2+1)(1;1)=0 (skalárszorzat akar lenni)

1/sqrt(5) * m/sqrt(m^2+1) - 2/sqrt(5) * 1/sqrt(m^2+1) = 0

m=2

"Utána már csak be kell helyettesíteni a pont koordinátáit és megvan a konstans tag."

P(-2;0) y=mx+b => y=2x+4 vagy másképp: -2x+y=4 Ez a megoldás.

[link]