Hogyan kell megcsinálni a nevezetes azonosságokat feladatban?

Legalább azt írd le, hogy hányadik osztályos vagy!

Még jobb lenne, ha egy-két feladatot is kiírnál ide.

Szerintem úgy lehet jól megjegyezni, ha az ember olyan példákat talál, ahol a szóbanforgó azonosság valami ütős könnyebbséget hoz, szóval szinte úgy lehet ,,elsütni'', mint egy poént.

Mondok egy példát, lehet, hogy nem lesz a legjobb. Remélem, mások jobbat tudnak.

Pl tegyük fel, hogy ki kell számolni azt, hogy mennyi

9 + 42 + 49.

Ezt persze ki lehet számolni kézzel, bár el is lehet számolni közben, de ha az ember észreveszi, hogy itt tulajdonképpen éppen a 3² + 2·3·7 + 7² összegről van szó (hiszen a 9, az épp 3², a 42 az pedig épp 2·21, vagyis 2·3·7, és a 49 meg éppen 7²), akkor innentől szinte ránézésre is meg lehet mondani az eredményt, számolás nélkül is:

3² + 2·3·7 + 7² = (3 + 7)²

/Ez azért igaz, mert ez egy nevezetes azonosság: tulajdonképpen az (a + b)² = a² + 2ab + b² azonosságot alkalmaztam ,,visszafelé'', csak ,,a'' helyébe 3-at, ,,b'' helyébe 7-et kell képzelni mindenütt/

Innentől meg már könnyű, számolni sem kell: (3 + 7)²-ről ránézésre is látszik, mennyi: 3 + 7 az éppen 10, tehát a (3 + 7)² az tulajdonképpen éppen 10², amiről azonnal látjuk, hogy az éppen 100.

Lehet ellenőrizni az eredeti alakban is: 9 + 42 + 49 az annyi, hogy 9 meg 42 az 51, ahhoz meg még hozzáadok 49-et, az valóban épp száz. Szóval a dolog tényleg ,,működik''.

Igazából, ha ez nem ment, ne veszítsd el a kedvedet, mert bizonyos értelemben elég szerencsétlen ez a példám. Nagyon ritka az elsőben (és talán még másodikban is), hogy ,,visszafelé'' kelljen alkalmazni egy nevezetes azonosságot. Ilyen fajta példát valószínűleg nem is kapsz a dolgozatban (mármint ha csak nemrég vettétek ezeket az azonosságokat). Csak azt akartam megmutatni, hogy a nevezetes azonosságokat úgy sokkal mókásabb megtanulni, ha az ember ,,élőben'' találkozik velük, és nemcsak a képlet alakban összefoglalt száraz ,,csontvázaikat'' látja. Vagyis olyan helyzetekben, amikor ,,éppen kapóra jön'' az, hogy valamit sokkal könnyebb kiszámolni a segítségükkel, mint nélkülük.

Persze a nevezetes azonosságokat nemcsak erre használják (sőt, főleg nem erre használják), de talán így könnyebb elkezdeni az ismerkedést velük.

Meg még úgy is meg lehet könnyíteni a dolgokat, ha először pici számokra kipróbálgatja őket. Sőt, pici számokra akár le is lehet rajzolni őket.

Mindjárt megmutatom, hogyan lehet pici számokat lerajzolni.

Például a 2 lerajzolva: két kavics, vagyis

oo

A 3 lerajzolva az meg 3 kavics

ooo

Most jönnek az érdekesebb dolgok. Az összeadás is lerajzolható: 2 +3 az az, hogy két kavicsot meg három kavicsot egymás mellé tolok:

oo ooo

A négyzetre emelés lerajzolása: 2² az az hogy négyzetes alakban rakok ki kavicsokat, úgy hogy a négyzet oldala éppen 2 legyen (vízszintesen is, függőlegesen is)

oo

oo

Ennek mintájára már a 3² rajza is látszik

ooo

ooo

ooo

Szépen leolvasható a rajzokból, 2² = 3, és 3² = 9.

Na most jön a lényeg. Hogyan lehetne lerajzolni a nevezetes azonosságokat? Mondjuk azt a nevezetes azonosságot, hogy

(a + b)² = a² + 2ab + b²

Persze ezt valamilyen konkrét kis számokra vonatkozóan lehetne lerajzolni

(2 + 3)² = 2² + 2·2·3 + 3²

Nézzük a rajzot. Először is, 2 + 3 rajza

oo ooo

Most nézzük, mi lenne a rajza a (2 + 3)²-nek:

oo ooo

oo ooo

oo ooo

oo ooo

oo ooo

csak annyit csináltam, hogy kiraktam kavicsokból olyan négyzetet, amelynek az oldalai éppen oo ooo hosszúak: eszerint vannak összeállítva a sorok is és az oszlopok is, vagyis a nagy négyzet oldalai függőlegesen is vízszintesen is oo ooo hosszúak.

Na most ha jobban megnézem ezt a kavicsfigurát

oo ooo

oo ooo

oo ooo

oo ooo

oo ooo

akkor látszik, hogy ez tulajdonképpen négy kisebb figurából áll. A bal felső részén van egy

oo

oo

alakzat, a jobb alsó részén pedig egy

ooo

ooo

ooo

alakzat. Ezek négyzetes elrendezésűek: a bal felső az épp a 2²-nek rajza, a jobb alsó meg épp a 3²-nek a rajza.

Még van két részfigura is:

jobb felső rész

ooo

ooo

és bal alsó rész

oo

oo

oo

tulajdonképpen ezek ugyanolyanok csak az egyik el van fordítva a másik hoz képest, de mindkettejük esetében arról van szó, hogy kavicsok vannak kirakva 2 sorban é 3 oszlopban (vagy fordítva), összesen 2·3 kavics az egyik esetben is meg a másik esetben is.

Szóval az a lényeg, hogy a

oo ooo

oo ooo

oo ooo

oo ooo

oo ooo

alakzat az kirakható úgy is, mint egy

oo

oo

meg még egy

ooo

ooo

ooo

és még KÉT DARAB

ooo

ooo

Ha ezt leírjuk képletekkel, épp azt kapjuk hogy

(2 + 3)² = 2² + 2·2·3 + 3²

ez pedig nem más, mint a

(a + b)² = a² + 2ab + b²

nevezetes azonosság, a 2 és a 3 kis számra bemutatva.