Kezdőoldal » Közoktatás, tanfolyamok » Házifeladat kérdések » Trigonometria feladat. Segítesz?

Trigonometria feladat. Segítesz?

Figyelt kérdés
Egy hegyesszögű, egyenlő szárú háromszög szára 10cm, területe 22,5 cm2.mekkorák a szögek, beírt illetbe köré írt kör sugara.
2011. máj. 21. 22:09
 1/10 anonim ***** válasza:
54%
Rajzold be az alaphoz tartozó magasságát, mindjárt könnyebb lesz.
2011. máj. 21. 22:25
Hasznos számodra ez a válasz?
 2/10 bongolo ***** válasza:
100%

Szerintem ha az alaphoz tartozó magasságot rajzolod be, attól nem lesz könnyebb.


Az egyik szárhoz tartozó magasságot rajzold be, annak a hosszát ki fogod tudni számolni a területből. Ha megvan ez a hossz, akkor nézd meg a rajzodon, hogy a sin alfa mit is jelent (alfa legyen a neve a két egyforma hosszú szár között lévő szögnek). Szóval sin alfa-hoz meglesz minden adatod, ebből alfa kijön.


El tudsz idáig jutni, vagy kell segítség? Próbáld azért magadtól ezeket kiszámolni...

(Körök sugara majd utána)

2011. máj. 21. 23:18
Hasznos számodra ez a válasz?
 3/10 A kérdező kommentje:

Köszönöm az ötletet!

Jól számolom, hogy az a magasság 4,5 és a szög 26.74 fok ??

És a beírható kör?

2011. máj. 21. 23:43
 4/10 bongolo ***** válasza:
100%

Jól számoltad.


Egyébként abból, hogy körök sugara is kérdés, arra gondolok, hogy esetleg más megoldást vár a tanár a szögek kiszámolására is. Tanultatok olyat, hogy T=1/2 a*b*sin gamma? Ha igen, akkor ebből gyorsabban kijön a két szár által közrezárt szög, hisz a=b=10, T=22,5 ismertek.


Köré írt kör: Tanultátok a szinusztételt? A háromszög oldalai hosszának aránya megegyezik a szemben lévő szögek szinuszainak arányával. a/b = sin alfa / sin beta. Máshogy felírva: a/sin alfa = b/sin beta = konstans. És tanultátok, hogy ez a konstans a háromszög köré írható kör sugarának a duplája? Ha igen, ez alapján ki tudod számolni a sugarat. Ha nem tanultátok, szólj.


Beírt kör: Nézd meg ezt a rajzot:

[link]

A beírt kör középpontja a szögfelezők metszéspontja, az O pont. Onnan merőleges a "c" oldalhoz, a P pontban metszi. Az OP hossza természetesen r lesz, ami a beírt kör sugara. A P pont a c oldalt x és y szakaszokra metszi.

x/r = ctg alfa/2

y/r = ctg beta/2

Mindkét kotangenst ki tudod számolni, mert a szögeket már tudod.

x/r + y/r = (x+y)/r = c/r

ezért

c/r = ctg alfa/2 + ctg beta/2

r = c / (ctg alfa/2 + ctg beta/2)


c is ismert persze, így megvan a beírt kör sugara is. Nem tudom, tanultatok-e egyszerűbbet, nekem most nem jut más eszembe.

2011. máj. 22. 01:22
Hasznos számodra ez a válasz?
 5/10 A kérdező kommentje:
Nagyon köszönöm a válaszaidat. Nekem az első indítás nagyon tetszett. Most már a körök is megvannak. ( r=1,83 ; R=5,14 ) Még egyszer KÖSZ!
2011. máj. 22. 08:56
 6/10 A kérdező kommentje:

Most látom, hogy hasonló kérdés volt:

http://www.gyakorikerdesek.hu/kozoktatas-tanfolyamok__hazife..

Abban is nagyon izgalmas válasz van:

Például: "Az általános képlet R = abc/4T" DeeDee

Kösz ezt is.

2011. máj. 22. 10:11
 7/10 anonim ***** válasza:
100%

Látom, jó megoldás született, de ... ez a feladat megoldásának csak a fele! :-)


Én másképp indultam el

Mivel a terület ismert, de a számításához szükséges két adat ismeretlen, ezért elvileg végtelen számú szorzat adhatja ki a T értékét. A lehetőségeket az korlátozza, hogy szóba jöhető egyelő szárú háromszögek szára adott érték.

Fel lehet írni két egyenletet

T = a*m/2

b² = (a/2)² + m²

Ebből egy negyedfokú egyenlet adódik, amit helyettesítéssel meg lehet oldani.

A megoldás KÉT valós gyök, tehát két háromszögnek kell léteznie!

A fenti egyenletrendszer gyökei között érdekes összefüggések látszottak, az értelmezésükhöz az egyik válaszoló szögekkel történő megoldása adta.


Lásd a következő ábrát.

[link]


Beugrott, hogy

sinα = sin(180 - α)!

Hol helyezkedik el a (180 - α) szög?

Felrajzolva a háromszöget, és az egyik szárat meghosszabbítva előállt a kérdéses szög.

A meghosszabbításra rámérve a szár hosszát, majd az így keletkező pontot összekötve az alap másik pontjával, azonnal előállt a két megoldás!

A sárgával jelölt háromszög ugyanúgy kielégíti a feladat feltételeit, mint a kék színű!

A rajzból látszanak azok az összefüggések, melyek már az egyenletrendszernél is feltűntek, csak nem voltak ennyire nyilvánvalók.

A kék háromszög alapja a1, magassága m1, a sárga alapja 2*m1, a magassága (a1)/2, a szárak mindkét háromszögnél az adott 'b' hosszúságúak, vagyis

a2 = 2*m1

m2 = (a1)/2


A szárszög meghatározását az egyik válaszoló jól leírta, aminek alapján ki is számoltad a szöget.

Kellene még az alap (a1) és a magasság (m1) értéke.

Egyéb adat híján szögfüggvényeket kell használni.

Nem szeretem azt a módszert, mikor egy nem pontos szögnek a felével kell tovább számolni - a1 = 2*b*sin(α/2) - , ezért

szívesebben alkalmazom a koszinusz tételt (nem tudom, tanultátok-e már), ami a jelen esetben a következő egyszerű formájú lesz:

a1 = b*√[2(1 - cosα)]


Az alap (a1) ismeretében a magasságot (m1) a legegyszerűbb a területképletből kiszámítani

m1 = 2T/a1


Az a1 és m1 ismeretében már a sárga - nevezzük kiegészítő háromszögnek - adatai is ismertek.


A beírt és körülírt kör sugara

Nem vitatom az utolsó válaszoló megoldásának helyességét, de van ennél egyszerűbb is.

Minden háromszögre érvényes, hogy

T = r*s

ahol

r - a beírt kör sugara

s = (a + b + c)/2 - a háromszög kerületének fele

vagyis egy a, b, c oldalú háromszög területe egyenlő a a beírt kör sugarának a félkerületének a szorzatával.

ebből

r = T/s

Mindkét háromszög minden oldala ismert, a terület adott, így nem probléma a beírt kör sugarának kiszámítása.


A körülírt kör sugarának meghatározására több módszer is van

1.)

Az egyik válaszoló már említette a szinusz tételből adódó

R = a/2*sinα

képletet, amelybe az alapot, és a vele szemben fekvő szöget kell behelyettesíteni.


2.)

A területképletből és a fenti egyenletből származtatható

R = abc/4T

képlettel is lehet számolni


3.)

A második ábrán az R2 meghatározása látható, amit csak azért mutatok, hogy nem feltétlen kell mindig ragaszkodni a jól ismert képletekhez, a helyzettől függően más megoldások is szóba jöhetnek.


Remélem, sikerült elég részletesen körüljárni a problémát, ha valami nem világos, szólj azonnal.


DeeDee

************

2011. máj. 22. 19:17
Hasznos számodra ez a válasz?
 8/10 A kérdező kommentje:
Nagyon köszönöm az utóbbi választ is! Igyekszem minden szavát megérteni még akkor is, ha már kész a házim.
2011. máj. 22. 22:44
 9/10 A kérdező kommentje:
Tehát az első kommentemben nemcsak a 26,74 fokot, hanem a 153,35 fokot is meg kellett volna találni. Így teljesen érthető, hogy két megoldása van a feladatnak, ezeket az ábrádon nagyszerűen összekapcsoltad és megmutattad az összefüggéseket. Nagyon köszönöm mégegyszer.
2011. máj. 22. 23:38
 10/10 anonim ***** válasza:
100%

Csak mosolygok magamon, mert annyira megtetszett a feladat, hogy nem is figyeltem a szövegre, miszerint "Egy hegyesszögű..." háromszögről szól a kérdés, így a második megoldás nem is elégíti ki a feladat feltételeit. :-)

Ennek ellenére talán hasznosak az általam leírtak.


DeeDee

*******

2011. máj. 23. 15:29
Hasznos számodra ez a válasz?

Kapcsolódó kérdések:





Minden jog fenntartva © 2024, www.gyakorikerdesek.hu
GYIK | Szabályzat | Jogi nyilatkozat | Adatvédelem | Cookie beállítások | WebMinute Kft. | Facebook | Kapcsolat: info(kukac)gyakorikerdesek.hu

A weboldalon megjelenő anyagok nem minősülnek szerkesztői tartalomnak, előzetes ellenőrzésen nem esnek át, az üzemeltető véleményét nem tükrözik.
Ha kifogással szeretne élni valamely tartalommal kapcsolatban, kérjük jelezze e-mailes elérhetőségünkön!