Hogy kell kiszámolni a következő mértani sorozatot?

Mertani sorozat:

a2 = q·a1

a3 = q·a2 = q^2 · a1

a4 = q·a3 = q^3 · a1

es igy tovabb

Neked meg van adva hogy:

a3 - a2 = 3

a3 - a1 = -3

ezt atirhatod mint:

q^2 · a1 - q · a1 = 3

q^2 · a1 - a1 = -3

kiemeled a1-et:

a1·(q^2 - q) = 3

a1·(q^2 - 1) = -3

2 egyenleted van 2 ismeretlennel, megoldod (pl kifejezed a1-et az egyikbol es berakod a masikba):

2q^2 - q - 1 = 0

megoldasok: q = -1/2 vagy q = 1

A q = 1 nem megoldas, mert ellent mond a feladat kijelentesenek; marad a q = -1/2. Ekkor a1 = 4.

A sorozat 4, -2, 1, -1/2, 1/4 ...

Variációk egy témára. :-)

Mértani sorozat

m3 - m2 = 3

m3 - m1 = -3

m1 = ?

q = ?

1. variáció

Összeadva a két egyenletet

2*m3 - (m1 + m2) = 0

2*m3 = m1 + m2

A hányadossal

2*a1*q² = a1(1 + q)

Egyzerűsítve

2*q² = 1 + q

2q² - q - 1 = 0

ugyanaz, mint az előző megoldásban

2. variáció

Az eredeti egyenletek a hányadossal

m2*(q - 1) = 3

m1*(q² - 1) = -3

az utóbbit tovább bontva - nevezetes szorzat

m1*(q + 1)(1 - q) = -3

Így a két egyenlet

m2*(q - 1) = 3

m1*(q + 1)(q - 1) = -3

Kikötés: q≠1

Az elsőt elosztva a másodikkal (m2/m1 = q) és egyszerűsítve

q/(q + 1) = -1

A törtet eltüntetve

q = - q - 1

majd rendezve

2q = - 1

q= -1/2

Másodfokú egyenlet sem kell.

DeeDee

**********