Mi lesz a megoldása a következő logaritmusos egyenlőtlenségnek?

Alakítsd át a 0-t logaritmussá: log_2 1, a log. fgv. szig mon. miatt elhagyható a log:

(2x+1)^2>1, ezt megoldva: -1 és 0 közé eső x-ek jók.De: kell a kikötés is: (2x+1)^2>0, ezt megoldva: x>-1/2, így a megoldás: ]-1;-1/2[

Sajnos az előző hozzászóló megoldása csak félig-meddig jó, valószínűleg figyelmetlen volt.

Kikötés: csak pozitív szám logaritmusa van értelmezve, ezért (2x+1)^2<0. Ez minden esetben egy nem negatív szám (mivel negatív szám négyzete pozitív), akkor lehet baj, ha 2x+1=0, vagyis x=-1/2, ennyi nem lehet x.

Ugyanúgy oldjuk meg, mintha nem lenne másodfokú kifejezés:

Definícióból vagy az előző hozzászóló átalakításából:

(2x+1)^2<1

Kaptunk egy másodfokú egyenlőtlenséget, amit a a gyökvonás szabályaival vagy megoldóképlettel oldunk meg. Mivel a megoldóképletes megoldás mindig használható, ezért inkább azzal vezetem le:

Négyzetre emelés után 4x^2+4x+1<1

4x^2+4x=0, mivel tudunk, osszunk 4-gyel:

x^2+x=0

Másodfokú egyenlet megoldóképletéből x1=0 és x2=-1

Gyöktényezős alakba fölírjuk: (x-0)(x+1)=x(x+1)<0

Egy szorzat akkor negatív (<0), ha páratlan sok tényező negatív, esetünkben 1 tényező lehet csak negatív.

Esetszétválasztással:

1. eset: x a negatív, vagyis x<0 és x+1>0. Ennek a két egyenlőtlenségnek a közös metszete a ]-1;0[ intervallum.

2. eset: x a pozitív, vagyis x>0 és x+1<0. Ennek a kettőnek nincs metszete, ebben az esetben ellentmondásra jutottunk.

Tehát a megoldáshalmazunk a ]-1;0[ intervallum. Összevetve az eredeti kikötéssel, x értéke a ]-1;0[\{-1/2} (az intervallumból kivettük a -1/2-et) mindkét oldalról nyílt intervallumon van.