Hogyan kell megoldani az ilyen típusú feladatokat?

Meg lehet oldani pontosan is, ahhoz harmadfokú egyenlet megoldóképlete kell. (Abból kijönne az, hogy N=225, de nem érdekes.)

Viszont mivel csak az N létezését kell igazolni, ezért akármilyen durva felülbecslés is jó.

Ha n > 0, akkor mondjuk így tudjuk fokozatosan felülbecsülni az N értékét úgy, hogy a bal oldal értéke közben ne csökkenjen:

(n³ + n +6)/(3n² + 2n + 5) > n³/(3n² + 2n + 5)

Ha n ≥ 1, akkor még tovább mehetünk:

> n³/(3n² + 2n² + 5)

Ha n ≥ 3, akkor még tiovább mehetünk:

> n³/(3n² + 2n² + n²) = n³/(6n²) = n/6

Ugye érted a folyamatot? A számlálót csökkentettek, a nevezőt növeltem.

Ezek után az jött ki, hogy ha N/6 egyenlő 75-tel, akkor az n>N-ekre biztos nagyobb lesz az eredeti kifejezés értéke 75-nél. Vagyis ez egy lehetséges N:

N = 6·75 = 450.

Ez tényleg ≥ 3, tehát az előző egyenlőtlenségek igazak voltak.

Ez végülis a duplája lett a pontos értéknek, de nem baj, bebizonyítottuk, hogy van olyan N.

b)

Az állítás az volt, hogy "Van olyan N, hogy ..." stb.

Ennek a tagadása az, hogy "Nincs olyan N, hogy..." és a folytatás változatlan.

Egyszerűen a "∃ N ∈ ℕ" helyett azt kell írni, hogy "∄ N ∈ ℕ", a többi marad.