Egy tompaszögű háromszög területe 2 cm2, két oldalának hossza 2 cm és 4 cm. Mekkora lehet a tompaszög nagysága?

2 esetre lehet a feladatot bontani:

1. eset: a tompaszög a megadott két oldal hajlásszöge.

Szinuszos területképletet kell felírni:

2*4*sin(Ł)/2=2 /:4

sin(Ł)=1/2

Mivel a háromszög tompaszög, ezért a II. negyed megoldására van szükségünk; az első negyedben Ł=30° lenne a megoldás, ezért a II. negyedben 180°-30°=150°-nál lesz a szinuszérték 1/2, tehát a tompaszög nagysága 150°.

2. eset: A tompaszög a 4 cm-es oldallal szemközt van (a másikkal szemben nem lehet, mivel ha az oldalak a;b;c, az ezekkel szemközti szög Ł;ß;y, akkor teljesülnie kell annak, hogy ha a≤b≤c, akkor Ł≤ß≤y).

Megint írjuk fel a szinuszos területképletet, viszont most az I. negyed szögével kell foglalkoznunk;

4*2*sin(Ł)=2, amire Ł=30° (lásd fent).

Ezzel kiszámolható az ismeretlen oldal a koszinusztételt használva:

c^2=2^2+4^2-2*4*2*cos(30°)=4+16-8*√3=20-8*√3=4(5-2*√3), tehát

c^2=2*√(5-2*√3) (igény szerint kiszámolható az értéke).

Megint felírható a szinuszos területképlet:

2*2*√(5-2*√3)*sin(ß)/2=2, amire sin(ß)=~0,8067.

Üssük be a számológépbe, ezzel megkapjuk az első negyed szögét:

ß=53,794°, II. negyedben így ß=180°-53,794°=126,206°.

Ebből már kiszámolható a harmadik szög; tetszőleges háromszög belső szögének összege 180°, ezért a harmadik 180°-126,206°-30°=23,794°.

A fenti megállapításnak igaznak kell lennie: 2≤2*√(5-2*√3)≤4, ekkor 23,794°≤30°≤126,206° teljesül, ebben az esetben a tompaszög nagysága ~126,206° (ha nagyon pontosak akarunk lenni, akkor a megoldás: arcsin(1/√(5-2*√3) nagyságú a szög).

Lehet, hogy ugyanaz az eredmény?

[link]

Mert a rövidebb befogónak a kétszerese az átfogó:

[link]

Igazad van, erre nem gondoltam, én a szögből számoltam volna vissza; tükrözve a hosszabbik befogóra egy olyan háromszöget kapunk, amelynek minden szöge 60°-os, tehát szabályos, tehát minden oldala egyenlő. Mivel egy háromszög tükrözésével kaptuk az új szöget, és a szimmetriatengely az egyik oldalt felezi, ezért annak a fele lesz az eredetiben a befogó.

Mindenesetre azért szerintem nem ártott megemlíteni, hogy egyértelmű legyen :)