Egy szabályos háromszög alapú gúla alapéle 1.2 dm a testmagassága 20 cm hány cm az oldalél a felszín és a térfogat? egy szabályos háromszög alapéle 12 cm testmagassága 20 cm. Hány cm a testmagassága a felszíne és a térfogata?

Mivel a feladatból nem derül ki, feltételezem hogy az említett gúla palástjának lapjai azonos parapéterű háromszögek.

Ha így van, akkor a magasság egy az alapra merőleges egyenes, mely átmegy az alap súlypontján.

Legyen a háromszög oldala x:=12cm; A gúla magassága m:=20cm;

Mivel a súlypont 2:1 arányban osztja a súlyvonalat, kiválasztunk egy tetszőlegeset, és meghatározzuk a hosszát (egyenlőszárú háromszög lévén azonos hosszúságúak lesznek). Ennek legegszerűbb módja, ha vesszük az x/2,súlvonal,x oldalú derékszögű háromszöget. Ennek szögei rendre 30,60,90 fok, így oldalainak aránya rendre 1,gyök(3),2 lesznek, vagyis 6cm,gyök(3)*6cm,12cm. Ebből következik, hogy a súlypont és az egyenlőszárú háromszög pontjai közti szakasz hossza z:=(2/3)*gyök(3)*6=4*gyök(3)cm.

y jelölje a gúla oldalának élhosszát. Nyilvánvaló, hogy m,z,y által határolt síkidom egy egyenlő szárú háromszög, ahol m és z befogók, ráadásul ismertek is, így egy egyszerű Pitagorasz-tétel alkalmazásával meg is kapjuk y-t. (4*gyök(3))^2+20^2=y^2 => y=gyök(448)cm

A továbbiakhoz kell az alap területe, jelöljük T_a -val, illetve majd jelölte T_p a palást egy lapjának területét.

T_a -hoz kell az alap egyik oldala, és az ahhoz tartozó magasság. Mivel egyenlőszárú háromszögről van szó, az oldal x, a hozzá tartozó magasság meg ekvivalens a súlyvonallal ami gyök(3)*6cm, tehát T_a=(gyök(3)*6*12)/2=gyök(3)*36cm^2

A gúla térfogata: V=1/3*T_a*m=gyök(3)*240cm^3

A palást egy lapjának élei x,y,y. T_p-t számoljuk úgy, hogy vesszük x oldalt, és a hozzá tartozó m_x magasságot. Az x/2,m_x,y szintén egy derékszögű háromszög, ahol y az átfogó, így üvölt a Pitagorasz-tétel után. 6^2+m_x^2=y^2 => 36+m_x^2=448 => m_x^2=412 =>m_x=gyök(412)cm

T_p=(x*m_x)/2=(12*gyök(412))/2=6*gyök(412)cm^2

A felület: F=T_a+3*T_p=36*gyök(3)cm^2+18*gyök(412)cm^2