Fizika feladat (? )

Ezt a pályát logaritmikus spirálnak hívják. Ilyesmi lesz:

[link]

A hangyák szimmetrikusan mozognak, ezért mivel kezdetben egy szabályos háromszög csúcsaiban vannak, mindig is szabályos háromszög csúcsaiban lesznek, csak kisebben. A háromszög köré írt kör középpontjába fut be a spirál.

Nézzük a bal alsó (A) és a legfelső (F) hangyát. dt idő alatt ds távolságot tett meg mindegyik hangya:

ds/dt = 1 cm/s

A koordináták ezek lesznek:

Kezdetben:

A = (0, 0)

F = (25, 25·√3)

A két pont távolság:

a = 50

Az A hangya elindul az F felé, F a harmadik pont felé.

dt idő múlva:

A' = (ds/2, ds·√3/2)

F' = F + (ds/2, -ds·√3/2) = (25 + ds/2, 25·√3 - ds·√3/2)

A két pont távolsága:

a' = |F' - A'| = √( 25² + (25·√3 - ds·√3)²)

a' = √( 25² + 3·(25 - ds)²)

a' = √(4·25² - 3·50·ds + 3·ds²)

a' = √(50² - 2·50·[ds·3/2] + 3·ds²)

ami jó közelítéssel ennyi

a' = 50 - ds·3/2

Vagyis a háromszög oldala pont 1.5 ds-sel, vagyis másodpercenként 1.5 cm-rel csökken. Ezért 50·2/3 másodperc múlva lesz 0.