Egy téglalap csúcsai A (7;2) és B (11;5). Az AC átlója háromszor akkora, mint az AB oldal. Mi lehet a hiányzó két csúcs koordinátája? Le tudná valaki vezetni a megoldás menetét?

De nincs végtelen megoldás...

AB hosszát kiszámolja, oké.

AC hosszát úgy kapja, hogy AB hosszát megszorozza 3-mal, oké.

DE!

Az ABC egy derékszögű háromszög, mert egy téglalap egyik oldaláról és egyik átlójáról van szó.

Pitagorasz tétellel ki lehet/kell számolni a BC oldal hosszát, és így máris csak 2 megoldás lesz C-re.

Van ugye az a kör, aminek A a középpontja és AC a sugara.

És van az a kör, aminek B a középpontja és BC a sugara.

Ezeknek kettő darab metszéspontja van, ezek a C lehetséges helyei. (C1 és C2)

A D csúcsot hasonló módon lehet meghatározni:

Van egy kör, aminek a középpontja C és a sugara AB (a téglalap szemközti oldalai egyenlő hosszúságúak!).

És van egy másik kör, aminek a középpontja A és a sugara BC (a téglalap szemközti oldalai egyenlő hosszúságúak!).

Az első kört (C középpontú) kétszer kell felírni, mert ugye két C pontunk van. Mindkettő esetben szerintem 1-1 metszéspontja lesz amásodik körrel. Így kapjuk meg a D csúcs helyeit. (C1-hez tartozik D1, C2-höz D2)

|AB| = gyök((11-7)^2 + (5-2)^2) = gyök(16 + 9) = 5

|AC| = 3 * |AB| = 15

Pitagorasz tétel:

|AB|^2 + |BC|^2 = |AC|^2

5^2 + |BC|^2 = 15^2

|BC|^2 = 200

|BC| = gyök(200) = 10 * gyök(2)

1. kör: A középpont, |AC| sugár

(x - 7)^2 + (y - 2)^2 = 225

2. kör: B középpont, |BC| sugár

(x - 11)^2 + (y - 5)^2 = 200

Ez egy egyenletrendszer ugye, de én úgy gondolom, hogy nem lehet egyik egyenletéből sem kifejezni sem x-et, sem y-t.

Ezért gondoljuk át még egyszer a feladatot:

Egy téglalapról van szó, aminek ismerjük az egyik oldalát (AB).

A BC oldalt ki tudjuk máshogy is fejezni kör nélkül? Igen!

Mivel téglalap, ezért a BC oldal egyenese MERŐLEGES az AB oldalra.

Ennek az egyenesnek ismerjük egy pontját (B) és egy normálvektorát (AB).

B(11; 5)

AB = (11 - 7; 5 - 2) = (4; 3)

Az egyenes egyenlete:

4x + 3y = 44 + 15 = 59

Ehhez vegyük hozzá az A középpontú, |AC| sugarú kört. Ekkor a következő egyenletrendszert kapjuk:

I. (x - 7)^2 + (y - 2)^2 = 225

II. 4x + 3y = 59

II.-ból: y = (59 - 4x) / 3

I.-be: (x - 7)^2 + ((59 - 4x) / 3 - 2)^2 = 225

(x - 7)^2 + ((59 - 4x - 6) / 3)^2 = 225

(x - 7)^2 + (53/3 - (4/3)*x)^2 = 225

x^2 - 14x + 49 + 2809/9 - (424/9)*x + (16/9)*x^2 = 225

9x^2 - 126x + 441 + 2809 - 424x + 16x^2 = 2025

25x^2 - 550x + 1225 = 0

x^2 - 22x + 49 = 0

másodfokú egyenlet megoldóképlete...

x1 = 11 + 6 * gyök(2)

x2 = 11 - 6 * gyök(2)

y1 = (59 - 4x1) / 3 = 5 - 8 * gyök(2)

y2 = (59 - 4x2) / 3 = 5 + 8 * gyök(2)

Tehát:

C1(11 + 6 * gyök(2); 5 - 8 * gyök(2))

C2(11 - 6 * gyök(2); (59 - 4x2) / 3 = 5 + 8 * gyök(2))

------------

A D csúcshoz is írjunk fel egy egyenest (az AD egyenesét) és egy kört (A középpont, |BC| sugár).

Az egyenes egy pontja A(7; 2) és egy normálvektora: n = AB = (4; 3).

I. 4x + 3y = 28 + 6 = 34

II. (x - 7)^2 + (y - 2)^2 = 200

I.-ből: y = (34 - 4x) / 3

II.-be:

(x - 7)^2 + ((34 - 4x) / 3 - 2)^2 = 200

(x - 7)^2 + ((34 - 4x - 6) / 3)^2 = 200

(x - 7)^2 + ((28 - 4x) / 3)^2 = 200

x^2 - 14x + 49 + 784/9 - (224/9)*x + (16/9)*x^2 = 200

9x^2 - 126x + 441 + 784 - 224x + 16x^2 = 1800

25x^2 - 350x - 575 = 0

x^2 - 14x - 23 = 0

másodfokú egyenlet megoldóképlete...

x1 = 7 + 6 * gyök(2)

x2 = 7 - 6 * gyök(2)

y1 = (34 - 4x1) / 3 = 2 - 8 * gyök(2)

y2 = (34 - 4x2) / 3 = 2 + 8 * gyök(2)

Tehát:

D1(7 + 6 * gyök(2); 2 - 8 * gyök(2))

D2(7 - 6 * gyök(2); 2 + 8 * gyök(2))

Tehát két megoldás van:

A (C1; D1) és a (C2; D2) pár.