Erre a feladatra nincs valami egyszerűbb megoldás?

De van. A komplementerrel kell számolni.

P(A|B)-t kell kiszámolni, az A esemény, hogy van fiú a családban, a B esemény, hogy van lány a családban.

P(A|B)=P(A metszet B) / P(B)

P(A metszet B) azt jelenti, hogy van a családban fiú és lány is.

Ezt a komplementerrel könnyű kiszámolni.

A metszet B komplementere, hogy a családban VAGY csak fiú van VAGY csak lány.

Annak a valószínűsége, hogy csak fiú van n gyerek között:

(1/2)^n

A csak lány ugyanennyi: (1/2)^n

A kettő összege 2*(1/2)^n

Tehát P(A metszet B) = 1 - 2* (1/2)^n

P(B) szintén komplementerrel számolható. B komplementere, hogy minden gyerek fiú.

P(B) = 1-(1/2)^n

Tehát annak az esélye, hogy a lánynak van fiú testvére:

P(A|B) = [1 - 2* (1/2)^n ]/[1-(1/2)^n]

Ellenőrizzük le 2 gyerekre felírva az összes esetet:

FF - eleve kizárva

FL - jó eset

LF - jó eset

LL - rossz eset

Annak az esélye, hogy a lánynak van fiú testvére 2/3.

Nézzük a képletet:

[1 - 2* (1/2)^2 ]/[1-(1/2)^2] =

(1 - 1/2)/(1-1/4) = (1/2) /(3/4) = 1/2 * 4/3 = 2/3

Tehát a képlet működik n=2-re, így valószínűleg bármilyen n-re is működni fog.

Az, hogy már van egy lány a családban, nem befolyásolja a másik két gyerek nemét, annyit tudtál meg belőle, hogy 2-re kell megnézni a valószínűséget.

Mennyi az esélye, hogy egyik sem fiú? 1/2 * 1/2 = 1/4

Tehát 3/4 a valószínűsége, hogy legalább egy fiú van köztük.

Ha egy hatgyermekes családban már van egy lány, akkor az a kérdés, hogy a maradék 5 közül mennyi az esélye, hogy legalább egy fiú?

Megint számoljuk ki, hogy mennyi az esélye, hogy mind lány?

(1/2)^5 = 1/32

Tehát 31/32 a valószínűsége, hogy van köztük fiú.

Ha jól értettem a kérdésedet.

Az első gondolatmenet helyes, de sztem más az eredmény:

Odáig oké. hogy P(A|B)=P(A metszet B)/P(B),

Ahol A esemény: van fiú, B esemény: van lány.

Az összes eset 2^6, mert minden gyerek kétféle lehet egymástól függetlenül.

Mármost P(B)=(2^6-1)/2^6, mert egy esetben nincs fiú, akkor, ha mindenki lány.

Továbbá P(A metszet B)=(2^6-2)/2^6, mert két olyan eset van, amikor nincs mindkét nem a gyerekek között.

Tehát a keresett valószínűség: 62/63

Pelenkásfiúnak:

Csak gondolj a kétérmés alapfeladatra. Ott is látszólag 3-féle eset van, és ezek közül egy a fej-írás, így a fej-írás esélye 1/3 lenne. De ha elvégzed jó néhányszor, akkor 1/2 jön ki. Miért? Mert a sorrend is számít, és ha így számolunk, akkor a helyes 2/4 eredményt kapjuk.

Itt is hasonló a helyzet, nem lehet figyelmen kívül hagyni a sorrendet.

"Az első gondolatmenet helyes, de sztem más az eredmény:

...

Tehát a keresett valószínűség: 62/63

"

Ha behelyettesítesz n=6-ot a levezetett képletbe, akkor (62/64) / (63/64) = 62/63 jön ki.

Tehát, hogy nemcsak a gondolatmenetem jó, hanem az eredményem is, amit ezúton megerősítettél.

#6 Nem értem, amit írsz.

Oké, módosítsuk a feladatot:

Dobtunk egy fejet. Mennyi annak a valószínűsége, hogy két dobásból lesz egy írás?

Egyedül akkor NEM lesz írás, ha mindkettő fej. Ennek 1/4 a valószínűsége, tehát 3/4 a valószínűsége, hogy lesz LEGALÁBB EGY írás.

Mi a rossz ebben?

"Dobtunk egy fejet. Mennyi annak a valószínűsége, hogy két dobásból lesz egy írás?

Egyedül akkor NEM lesz írás, ha mindkettő fej. Ennek 1/4 a valószínűsége, tehát 3/4 a valószínűsége, hogy lesz LEGALÁBB EGY írás. "

Nem ez a kérdés.

Hanem az, hogyha az egyik érme fej, akkor mennyi a valószínűsége, hogy a másik írás.

4 eset van:

FF

ÍF

FÍ

ÍÍ

Ebből a ÍÍ nem játszik, mert MEGMONDTUK, hogy az egyik fej.

Arról szól a FELTÉTELES VALÓSZÍNŰSÉG, hogy bizonyos eseteket eleve kiszűrünk.

Tehát maradt 3 eset, most ez az ÖSSZES ESET:

FF

ÍF

FÍ

Tehát mennyi az esélye, hogy van közte írás?

2 jó eset van a 3-ból

Tehát p=2/3