Ha van egy bombatípus, ami 90% eséllyel működik helyesen, akkor hányat kell ledobni, hogy 50% eséllyel kettő legyen hibás?

A feladat szamomra nem teljesen egyertelmu. En ugy ertelmezem, hogy a kerdes az, hogy 50% esellyel legyen pontosan ketto hibas a ledobottak kozul.

ha egyet dobsz le, akkor annak a valoszinusege, hogy az az egy hibas: 10%.

Ha kettot dobsz le, annak a valoszinusege, hogy mindketto hibas: 0.1*0.1 = 1%.

Innentol lesz erdekes a kerdes. Mi van, ha harmat dobsz le?

Ugye mindegyik 10% esellyel lesz hibas. Annak valoszinusege, hogy az elso es a masodik hibas, de a harmadik nem: 0.1*0.1*0.9, azaz 0.9%. Pontosan ugyan ekkora a valoszinusege, hogy az elso es a harmadik a hibas, de a masodik nem. Illetve ekkora a valoszinusege, hogy a maosikd es a harmadik a hibas, es az elso nem. Vagyis harom bombanal annak valoszinusege, hogy pontosan ketto hibas: 3 * 0.9% = 2.7%.

Hogyan altalnositjuk ezt a modszert tetszoleges szamu bombara? Legyen a bombak szama n. Ebbol azt szeretnenk, hogy ponotsan ketto legyen hibas. Valasszunk ki ket konkret bombat: annak a valoszinusege, hogy azok hibasak es a tobbiek nem: 0.1*0.1*0.9^(n-2). De ezt meg kell szorozni annyival, ahany felekepp ki tudunk valaztani 2 hibas bombat az n bombabol (hiszem barmelyik ketto lehet hibas). Ezt a kombinatorika szabalyai szerint az " n alatt a k" keplettel "n alatt a 2" felekepp tehetjuk meg, ami n!/(2 * (n-2)!) felekepp tehetjuk meg, ami nem mas mint n*(n-1)/2. Tehat annak a valoszinusege, hogy n bombabol pontosan ketto hibas: 0.1*0.1*0.9^(n-2) * n * (n-1) /2.

Ezt kicsit bonyolul ugy atrandezni, hogy n-re egy zart kepletet kapjunk, de minden esetre ennek a kepletnek nincs megoldasa pozitiv N-re. 19 bombanal 29% korul van a valoszinusege, hogy pontosan ketto a hibas, tobb bombanal ez egyre csokken.

[link]

Lehet felreertettem a feladatot, de gondoltam ha mar leirtam, akkor elkuldom.

Hat igen, az nem lehetetlen.

De hogy mennyire nem, ahhoz en mas kerdest tennek fel.

A te kerdesed, ahogy en ertelmeztem, az, hogy hany bombat kell ledobni, hogy 50% valoszinuseggel pontosan 2 ne robbanjon fel. Ha nagyon sok bombat dobnak le, akkor annak a valoszinusege, hogy pontosan 2 nem robban fel, egyre kevesebb lesz, mivel a fel nem robbant bombak varhato erteke no - 100 bombabol peldaul varhatoan 10 nem robban fel, 200-bol 20,stb.

Viszont minel tobb bombat dobsz le, annal valoszinubb, hogy lesz olyan eltalalt haz, amiben van ket fel nem robbant bomba. (Nagy szamok torvenye).

Ha egy hazat pontosan ket bomba talalt ert, akkor 1% valoszinuse van, hogy egyik sem robbant fel. Varhatoan 100 ilyen ket talalatos hazbol lesz egy amiben nem robbant fel egyik bomba sem. 50 ket talalatos haz eseten mar 50% a valoszinusege annak, hogy lesz koztuk olyan ahol egyik bomba sem robbant fel.