Hol van "nagyobb" végtelen, és miért?

[link]

IX. fejezet - 373. oldal

Itt megtalálod a választ, amit itt - hely és idő híján - nem valószínű, hogy meg tudsz kapni.

Megszámlálhatóan végtelen elemű, ha az elemek és a természetes számok között létezik bijektív leképezés, azaz kölcsönösen egyértelmű leképezés, azaz az elemek megsorszámozhatóak a természetes számokkal, ahol bármely sorszám egyértelműen meghatároz egy és csakis egy elemet, minden elemnek egyedi sorszáma van.

Megszámlálhatóan végtelen elem esetében mindig lehet úgy is leképezni, sorszámozni, hogy ez a feltétel ne legyen rá igaz. A lényeg azon van, hogy mindig lehet úgy is, hogy ezen feltétel igaz legyen.

A természetes számok halmazának, prímszámok halmazának, egész számok halmazának, racionális számok halmazának létezik ilyen leképezése ami bijektív a természetes számokkal.

A valós számok vagy akár csak annak egy véges (nem nulla) méretű intervallumán, ilyen bijektív leképezés a természetes számokkal nem létezik. Mindig lesz olyan eleme aminek úgymond nem jutott sorszám. Az bizonyítva van, hogy nem csak nem vagyunk elég ügyesek, hanem nem is létezik ilyen leképezés.

A bizonyítást be is linkelték.

Még konkrétabban mi a kérdés?

Még lehetne írni csomó mindent, de nem tudom melyik részéről írjak. A dolog annál sokkal méllyebb mint a valós számok számossága, racionális számok számok számossága, egész számok számossága ... .

Kérdező! Hogy megértsd ennek lényegét, előbb beszéljük meg, mit jelent a "több". Mert ugye ha azt gondoljuk, hogy van "nagyobb", akkor összehasonlítottuk.

Tehát mi több, az egész számok (legyen ezek neve E), vagy a nulla és egy közötti számok (legyen a nevük N). Már a gyermek is úgy hasonlít össze, hogy csinál két csoportot, és egyenként vesz el belőlük, ahol marad még, miután a másik elfogyott, az a több.

Írjuk az N-beli számokat tizedestörttel, nem baj, ha sok jegyből áll némelyik. Ezután vegyük az E-ből sorban a számokat nagyság szerint. Az első az 1. Az N-ből ennek feleljen meg mondjuk a 0,1. Persze van még 0,11 0,12 0,13 stb. de ez most nem számít. Vegyük ezután sorra az E-ből 2, 3, 4, stb. Párjaként vegyük az N-ből a 0,2 0,3 0,4 stb értékeket. Felírni nem tudjuk mert soká tartana, de nyilvánvaló, tudjuk venni az összes egész számot és hozzá N-ből azt, ami nulla egész és utána ez a szám. Ha az E halmaz elemei elfogytak, nézzük mi marad a másikban. Hát bizony tehettük volna, hogy sorra a 0,11 0,21 0,31 stb. számokat vesszük. Vagy a 0,111 0,211 0,311 és így tovább. És még mindig hihetetlen mennyiség maradt. Hát akkor tényleg az N nagyobb mennységű számot tartalmaz.

A matematikában csinálnak olyant hogy ezeket a végtelen sok elemből álló halmazokat nem csak szimplán végtelennek nevezik, hanem ezt is minősítik, mint a például az egész számoknál hogy egy, tízszeres, százszoros stb. Éskiderül, hogy nemcsak "nagyobb" az N, hanem van benne olyan rész is, ami sokkal kisebb az N halmaznál, de sokkal nagyobb az E halmaznál, hiszen gondold csak meg, én e féle módon írtam fel ugyanannyi darabot, mint az egész számok összesen. És még rengeteget írhattam volna. Ezt úgy mondják, hgy nemcsak "több", hanem nagyobb számosságú. De azért ez már nehezebb dió. Ráadásul tudni lehet, hogy számosságokból is végtelen sok van.

Ha még mindig nem érted, akkor meg kell mondanod, hogy konkrétabban mi nem jön össze. Mert mi kitalálni azt nem fogjuk tudni.