Felírja valaki az alábbi matematikai képletet?

Egy “n” dimenziós “golyónak - gömbnek” a következő matematikai képlet szerint számítjuk ki a térfogatát és a felszínét (r = gömb sugara):

V(n) = π^(n/2) *r^n/(n/2)!

A(n) = n*π^(n/2)*r^(n-1)/(n/2)!

Egy szintén “n” dimenziós “kockának” csúcsainak, éleinek, határoló lapjainak, térlapjainak, stb. számát és azok “felszínét” a következő képlet szerint lehet kiszámítani:

a = élhossz;

i = 0 (csúcs); i = 1 (él); i = 2 (lap); i = 3 (térlap - térfogat); i = 4 (4D térlap); stb.

A(n,i) = A(n,i,1)*X(n,i)

A(n,i,1) = egy határoló elem “felszíne”

X(n,i) = a határoló elemek száma

A(n,i) = a^i*2^(n-i)*n!/[(n-i)!*i!]

A(n,i,1) = a^i

X(n,i) = 2^(n-i)*n!/[(n-i)!*i!]

Hasonlóan egy “n” dimenziós “szabályos tetraéder” csúcsainak, éleinek, határoló lapjainak, térlapjainak, stb. számát és azok “felszínét” a következő képlet szerint lehet kiszámítani (a = élhossz):

A(n,i) = a^i*√(i+1)/[i!*2^(i/2)]*(n+1)!/[(i+1)!*(n-i)!]

A(n,i,1) = a^i*√(i+1)/[i!*2^(i/2)]

X(n,i) = (n+1)!/[(i+1)!*(n-i)!]

Megjegyzések:

A négyzetgyök alatt csak az “i+1” szerepel, a nevezőben meg csak a szögletes zárójelekben lévő kifejezések

A(n,n) = A(n,n,1) = V(n) (ez magának az “n” dimenziós testnek a térfogata)

X(n,n) = 1 (ez maga az “n” dimenziós test, ebből csak egy van)

A sorozat következő tagja az “n” dimenziós “szabályos dodekaéder” (a háromdimenziós változata 12 db szabályos ötszöggel határolt test). Ehhez kellene szintén az akárhány dimenziós “szabályos dodekaéder” csúcsainak, éleinek, határoló lapjainak, térlapjainak, stb. számának és azok “felszínének”a kiszámítására szolgáló képlet, vagyis az A(n,i) = ? képlet.

Ismeri valaki ezt a képletet? Vagy van esetleg olyasvalaki, aki ezt ki tudná számítani, ill. megpróbálná kiszámítani? Esetleg leírná csak az X(n,i) rész kiszámítására szolgáló képletet?

Az X(n,i) paraméterek a négydimenziós változatig ismertek:

n = 2, 3, 4, 5, 6,

i

0: 5, 20, 600, X(5,0), X(6,0),

1: 5, 30, 1200, X(5,1), X(6,1),

2: 1, 12, 720, X(5,2), X(6,2),

3: -, 1, 120, X(5,3), X(6,3),

4: -, -, 1, X(5,4), X(6,4),

5: -, -, -, 1, X(6,5),

6: -, -, -, -, 1,

A(2,2) = A(2,2,1) = V(2) = a^2*√(25+10*√5)/4

A(3,3) = A(3,3,1) = V(3) = a^3*(15+7*√5)/4

Ami ismert az öt és a hatdimenzós változatok esetén:

X(5,0) : X(5,1) : X(5,2) : X(5,3) : X(5,4) = 120 : 300 : 240 : 60 : 1

X(6,0) : X(6,1) : X(6,2) : X(6,3) : X(6,4) = 40 : 120 : 120 : 40 : 1

Itt valamivel bővebben és áttekinthetőbben:

[link]

[link]

[link]

[link]