Hogyan számítjuk ki egy bármilyen (véletlenszerű) test térfogatát?

Pl Arkhimédész 5letét alkalmazva, belerakhatod vízbe, és a kiszorított víz térfogatát megméred.

Vagy, felosztod kisebb részekre az ubetűt, és azoknak külön kiszámolod a térfogatát

Egy lehetséges módszer: feldarabolod kiszámítható térfogatú darabokra, pl. poliédereket tetraéderekre (mint a síkban a sokszögeket háromszögekre).

Általánosabb módszer: felveszel egy síkot, és felteszed, hogy x távolságra eltolod (a negatív x az egyik, a pozitív a másik irányba eltolást jelenti). Kiszámítod x függvényében, hogy a sík eltolt képének metszete a testtel mekkora területű, így kapsz egy f: R->{R unio inf}, f(x) függvényt. Ha az eltolt sík nem metszi a testet, akkor f(x)=0. Ezt az f-et integrálod, (-végtelentől +végtelenig, vagy egyszerűbben: csak onnantól, ahol a test kezdődik addig, ahol vége) és kész.

Ez két okból lehet lehetetlen vagy nagyon nehéz: nem lehet (nem könnyű) meghatározni az f-et (vagy maga az f túl bonyolult), vagy nem lehet (nem könnyű, vagy csak numerikusan közelítve lehet) kiintegrálni. Ezért kell jól kiválasztani a síkot. Pl. hengernél, kúpnál, hasábnál az alaplap a legegyszerűbb választás, innen jönnek ki az ismert térfogatképletek. Gömbnél mindegy.

Megjegyzés: a térben vannak olyan testek, amelyeknek NINCS térfogatuk. Nem az van, hogy 0, vagy végtelen, vagy nem lehet kiszámolni, hanem nincs. De, hacsak nem matematikus vagy, ilyenekkel nem fogsz találkozni.