Az [1,2] szakaszon véletlenszerűen felvesszünk 2 pontot. Mennyi a valsége hogy az szorzatuk 3-nál nagyobb?

Segítség:

Ha gyök3-nál nagyobb mindkét pont (kb 1,732) , akkor egyértelműen nagyobb.

Ha az egyik kisebb, akkor még lehet a másik elég nagy ahhoz, hogy ellensúlyozza (1,51 és 1,987). A többi kisebb.

Azt is észre kell venni, hogy ha az egyik nem nagyobb 1,5-nél, akkor sehogy sem lehet nagyobb a szorzat 3-nál (mert 1,5*2 = 3).

Tehát voltaképpen azt kell vizsgálnod, hogy ha az egyik 1,5 és gyök3 közé esik, akkor a másik milyen valószínűséggel esik olyan helyre, hogy a szorzat elég legyen.

Veszel egy derékszögű koordináta rendszert: (x,y) lesz a két véletlenszerűen felvett szám, ami egy négyzet valamelyik pontját jelöli: a négyzet csúcsai: (1,1), (2,1), (2,2), (2,1).

Ahol a szorzat 3-nál nagyobb: xy>3. Mivel csak pozitív x-ek jönnek szóba (1<=x<=2), ezért oszthatunk x-szel a reláció irányának változása nélkül, az jön ki, hogy:

y > 3/x

Tehát az f(x)=3/x függvény görbéje feletti területbe kell, hogy essen a pont.

Meg kell nézned, hogy hol metszi a görbe a négyzet felső oldalát: y=2=f(x)=2, ez alapján x=1.5-nél. Innentől a négyzet felső oldala és a görbe közötti területet kell meghatároznod, az egy sima integrálás: 1.5-től 2-ig kell (2 - 3/x)-et integrálni. Így kijön egy t terület.

Ezt a t területet kell osztani a négyzet teljes területével, és kijön a kapott valószínűség.