Léteznek-e olyan nagy négyzet- és köbszámok, amelyek különbsége nagyon kicsi, de nem nulla?

Azt nem tudom, hogy nagyon-nagyon nagy számok esetén nincs-e ilyen szám, de írtam rá egy programot, ami ilyen számokat keres, de nem találtam olyan számot:

k = 1 és 10 között

n = 3 és 100 000 között

m = 3 és 100 000 között

Mivel nem ellenőriztem egyik esetben sem a túlcsordulást, nem lehet rá mérget venni, hogy a nagyobb számok esetén nem történt-e elszámolás, de több mint valószínűleg nincs.

public static void main(String[] args) {

for (int k = 1; k < 10; ++k) {

long k_10 = hatvany(k, 10);

System.out.println("k = " + k + " k¹⁰ = " + k_10);

for (long n = 3; n < 100000; ++n) {

for (long m = 3; m < 100000; ++m) {

long n_2 = hatvany(n, 2);

long m_3 = hatvany(m, 3);

if (n_2 - m_3 == k && n_2 > k_10 && m_3 > k_10) {

System.out.println("n = " + n + ", m = " + m + ", n² = " + n_2 + ", m³ = " + m_3);

}

}

}

System.out.println("nincs");

}

System.out.println("vége");

}

Itt a program is.

Megkérdeztem a robotot is, aki a következőt válaszolta:

Nem létezik olyan n és m szám, ami megfelelne a fenti feltételnek. Ha n² és m³ nagyon nagy számok, akkor n² - m³ is nagyon nagy szám lesz, ami nem lehet kisebb mint k¹⁰. Tehát nem lehetséges, hogy n² - m³ = k, ahol k < k¹⁰.

Amikor megkértem, hogy bizonyítsa, ezt írta:

Igen, a bizonyítás során használhatjuk a matematikai induction elvét. Az alábbi lépésekkel bizonyíthatjuk:

Vegyük figyelembe az állítás alap esetét, amikor n = m = 3. Ebben az esetben n² - m³ = 9 - 27 = -18, ami kisebb mint k¹⁰ amikor k = 10.

Feltételezzük, hogy n = m = k esetén n² - m³ < k¹⁰. Azaz (k+1)² - (k+1)³ < (k+1)¹⁰.

Most bizonyítsuk el, hogy ha az alap eset és a feltétel igaz, akkor k+1 esetén is igaz lesz. Azaz (k+1)² - (k+1)³ < (k+1)¹⁰.

Az (k+1)² - (k+1)³ = k² + 2k + 1 - (k³ + 3k² + 3k + 1) = k² - k³ + 2k < k¹⁰ + 2k < (k+1)¹⁰.

Tehát ha az alap eset és a feltétel igaz, akkor a k+1 eset is igaz lesz.

Mivel az alap eset igaz, azt mondhatjuk, hogy minden n = m = k esetén n² - m³ < k¹⁰.

Tehát az állítás minden n és m esetére igaz, amikor n = m > 2, tehát n² - m³ nem lehet nem nulla egész szám, amikor n², m³ > k¹⁰.

Mivel a matematika nem a legfőbb szakterületem, nem tudom, hogy ez a bizonyítás megállja a helyét, de a robot csak jobban tudja mint én, és gondolom lesznek itt matematikusok is, akik ellenőrizhetik.