Hogyan kell megoldani a sin² (x) =-2 egyenlőséget?

[-1;1] intervallumon értelmezhető csak a sin(x) függvény, ebből kifolyólag pedig a sin²(x) függvény is.

Vagyis a fenti egyenletnek nincs megoldása.

Az első hülyeséget beszél. Miért ne lehetne megoldani?

sin(x)=i/2(e^(-ix)-e^(ix))

Legyen e^(ix)=y, ekkor:

sin(x)=i/2(1/y-y)

sin^2(x)=-1/4(1/y^2-2+y^2)

Legyen y^2=z, ekkor:

sin^2(x)=-1/4(1/z-2+z)

8=1/z-2+z

z^2-10z+1=0

Ennek az egyenletnek a gyökei: z=5±2sqrt(6)

Tehát y=±sqrt(5±2sqrt(6))

x=-i*log(y), tehát x re a megoldások:

x_1=-i/2*log(5+2sqrt(6))

x_2=-i/2*log(5-2sqrt(6))

x_3=π-i/2*log(5+2sqrt(6))

x_4=π-i/2*log(5-2sqrt(6))

Mivel a sin^2(x) periódusa π, ezért a megoldások:

x=nπ-i/2*log(5+2sqrt(6))

x=nπ-i/2*log(5-2sqrt(6))

Ahol n egész szám.

Az értékkészletre gondoltam természetesen, csak rosszul fogalmaztam.

A komplex számokat direkt nem vettem egyébként figyelembe, középiskolában a legtöbb helyen nem tanulják.