Miért kapunk irracionális számot, ha egy egész számot, amely nem hét valamelyik szorzata, elosztunk héttel?

Racionális szám az, ami felírható két egész szám hányadosaként. Ha egy egész számot – mondjuk a 76-ot –elosztod héttel, akkor racionális számot kapsz, hiszen amit kapsz, az pont két egész szám hányadosa: 76/7.

Gyanítom, hogy kevered az irracionális szám és a végtelen szakaszos tizedes tört fogalmát.

Felteszem arra gondolsz, hogy miért kapunk végtelen tizedes törteket minden ilyen osztás esetén.

Azért, mert tizes számrendszerben dolgozunk. Hetes számrendszerben a 7-tel való osztás adna véges tizedes törteket, és pl. a 2-vel való osztás adna végtelen tizedes törteket.

Minden véges tizedes tört bővíthető 10 megfelelő hatványával, két egész szám hányadosára. És ebben az "X/Y" alakú törtben, mivel 10 hatvánnyal bővítettük, a nevezőben csak a 2 és 5 prímtényezők fordulnak elő. Tehát, az X/Y alakú törted akkor és csak akkor lesz véges tizedes tört, ha az egyszerűsített formájában (nyilván ha bővíted 7-tel a számlálóban és nevezőben is, az más, ezért kell kikötni az egyszerűsített formát) a nevezőjében csak a 2 és 5 prímtényezők fordulnak elő. Mivel 7 az nem 2 vagy 5, ezért az nem lesz véges tizedes tört.

Ez az egész azért igaz, mert 10 hatvánnyal kellett az elején bővíteni. Az pedig azért igaz, mert tizes számrendszerben dolgozunk.

Kipróbáltam, beírtam a számológépbe hogy 1/7 és kiadta hogy 0.142857 142857 142857 ...

Nekem ez racionálisnak tűnik.

Definíció szerint irracionális szám az, ami nem írható fel két egész szám hányadosaként.

Na most az általad leírt számok, tehát 1/7, 2/7, 3/7, 8/7, stb. mind felírhatók, hisz épp most írtam fel őket.

A kapott szám nem irracionális.

A 7 valamelyik szorzata - itt arra gondolsz, hogy a 7 többszöröse. Ha a 7 egy többszörösét elosztod 7-tel akkor egész számot kapsz.

Ha az osztandó nem 7 többszöröse, akkor nem kapsz egész számot. Ha maradékos osztást végzünk, akkor azt látjuk, hogy a maradék nem nulla. Ha a maradékos osztás hányadosát megszorozzuk 7-et, akkor nem kapjuk vissza az eredeti osztandót. Ez a szám 7-tel osztható, mivel egy egész szám és a 7 szorzata. Hozzá kell adni a maradékot, hogy megkapjuk az eredeti osztandót.

Visszatérve az osztáshoz, az eredmény racionális lesz, hiszen két egész szám hányadosa. Ez azért lesz végtelen szakaszos tizedestört, mert a 10-ne nincs olyan hatványa, ami 7-tel osztható. A 7 prímszám, ezért, ha lenne a 10-nek olyan hatványa, ami 7-tel osztható, akkor 10 is osztható lenne 7-tel. A 10 nem osztható 7-tel, amiről maradékos osztással győződhetsz meg. Ezért, ha nem egy 7-tel osztható számot osztunk 7-tel, akkor végtelen szakaszos tizedestörtet kapunk.