Miért van az, hogy ha veszem pár szög összegét, akkor a cosinusuk összege akkor lesz a legnagyobb ha a szögek ugyanakkorák?

Egy trigonometrikus összefüggés:

cos(x±y) = cos(x)*cos(y) ∓ sin(x)*sin(y)

Lásd: [link]

(Ahogy írva van, levezetni némileg nehézkes, itt csak felhasználjuk ezt az azonosságot.)

Most akkor vegyünk egy ɑ szöget, ahol 0 < ɑ < π/2

Meg vegyünk még egy ugyanekkora szöget. Akkor a koszinuszuk összege nyilván:

2 * cos(ɑ)

Vegyünk egy φ szöget. Az egyik szöget (ɑ) növeljük, a másikat csökkentsük ezzel a φ-vel. Így a szöget összege nem fog változni. Ekkor ezeknek a koszinusza:

cos(ɑ+φ)=cos(ɑ)*cos(φ) - sin(ɑ)*sin(φ)

cos(ɑ-φ)=cos(ɑ)*cos(φ) + sin(ɑ)*sin(φ)

Ezeket összeadva a sin(ɑ)*sin(φ) ki fog esni:

cos(ɑ+φ) + cos(ɑ-φ) = 2*cos(ɑ)*cos(φ) = cos(φ) * (2*cos(ɑ))

Tehát itt a két különböző szög (ɑ-φ és ɑ+φ) koszinuszának az összege az cos(φ) szorzót kap a két azonos szög (ɑ) koszinuszainak összegéhez képest. Mivel cos(φ)=1, ha φ=0, itt van a függvény maximuma, így a szögek koszinuszának összegének is itt lesz a maximuma. Amint φ≠0+2π*n, úgy cos(ɑ+φ) + cos(ɑ-φ) < 2 * cos(ɑ)

Nyilván ezt ki lehet terjeszteni három, négy, akárhány szögre.