Hányas számrendszerben van ez a szám: '2ee87jef2e', ha tudjuk, hogy hetesben teljesen kerek szám?

23-as.

2 ee8 7je f2e (23) = 4 747 561 509 943 (10) = 1 000 000 000 000 000 (7)

Próbálkozással jöttem rá. 20-as számrendszerről érdemes elindulni keresni mert legnagyobb számjegye a 'j' aminek értéke 19, így pl 19-es számrendszerbe nem lehet ránézésre sem, hisz 'j' számjegye nem is lehet.

Mi az hogy csak 23 és nem nagyobb?

Átváltod 23-asból 7-esbe és látod hogy megoldás.

Az hogy 7-es számrendszerben teljesen kerek az azt jelenti hogy 7-nek valamelyik hatványa.

Az 2ee87jef2e szám 23-as számrendszerben van az azt jelenti hogy a 2*x^9+14*x^8+14*x^7+8*x^6+7*x^5+19*x^4+14*x^3+15*x^2+2*x^1+14 polinom kiértékelve az x=23-as helyen (ez pont 7 hatványa).

Hogy van e más megoldása kérdés ekvivalens azzal hogy

a 2*x^9+14*x^8+14*x^7+8*x^6+7*x^5+19*x^4+14*x^3+15*x^2+2*x^1+14=7^y

exponenciális diofantoszi egyenletnek van e másik megoldása. Ilyen egyenletnek nincs megoldóképlete, nincs általános megoldási módszer, a szokásos mérleg elv nem használható. Egy program mely addig próbálkozik míg másik megoldást nem talál az vagy ad egy másik megoldást vagy sosem áll meg.

Tudjuk hogy f(x)=2*x^9+14*x^8+14*x^7+8*x^6+7*x^5+19*x^4+14*x^3+15*x^2+2*x^1+14 függvény szigorúan monoton növekvő.

x-et mindig el növelve próbálkozhatunk hogy vajon 7-nek valamelyik hatványát kapjuk e. Ezt gyorsíthatjuk úgy hogy nem egyesével lépkedünk. Kell egy heurisztika mely x-et úgy növeli hogy 7 valahány hatványát közelíti.

Vegyük a polinom dominást tagját, ez határozza meg nagyságrendre értékét, limes x->végtelenbe f(x)/(2*x^9) = 1.

Oldjuk meg a 2*x^9=7^y egyenletet ahol x-et tekintsük ismeretlennek y-t konstansnak.

Megoldás: x = kilencedik gyök alatt (7^y)/2

legyen g(y)= egész része (kilencedik gyök alatt (7^y)/2)-1 függvény mely megadja f(x) függvény alulról közelített 7^y értékét. Akkor ad helyes értéket ha g(y)-ben y elég nagy, lényeg ha y>=15 akkor jó megoldást ad. Vegyük figyelembe hogy g egy heurisztikus függvény nem biztos hogy pontos alsó korlátot ad, de jól közelíti azt.

g(15) = 22, vagyis f(22)-7^15 > 0 és f(23)-7^15<=0

g(16) = 28, vagyis f(28)-7^16 > 0 és f(28)-7^16<=0

f(23)-7^15 = 0, dehát 23 megoldás.

24,25,26 és 27-re kapásból kihagyhattuk a próbálkozást.

g(17)=35 megint jobban jártunk mintha egyesével próbálkoztunk volna...

Haladunk tovább (nem írom le minden lépést)

g(65) = 1 174 999 f(g(65)+1)-7**65 > 0 (ez sem megoldás) 100-nál kevesebb próbálkozást tettünk a 1 174 976-al szemben, ha naivan minden számrendszerrel végigpróbáltuk volna.

Géppel g(200)-ig mentem azaz 5 578 387 351 392 335 727-es számrendszerig biztosan nincs megoldás. Valószínűleg nem is létezik más megoldás, bár ezt nem tudom precízen bizonyítani.

Megj.:

A ** is a ^ jelenti azaz hatványozást.

"Ha jól látom a keresett számrendszer csak páratlan lehet."

Igen mert ekkor lesz páratlan és csak páratlan lehet.

"Milyen "számjegyeket" használunk, ha nagy a számrendszer alapja, és már az angol abc is kevés, pl >36 ?"

Erre láttam olyan megoldást hogy a számjegyeket decimálisan kódolják így meg van oldva bármekkora alapszámú számrendszer számjegyei. Az elv ugyan az mint a binárisan kódolt decimális számoknál. Engedélyezett egyedi számjegyeket használni.

A babiloniak 60-as számrendszert használtak, ők saját jeleket használtak a 10 alatti számokra is.

Ha érdekelnek a számrendszerek akkor nézz utána hogy van pl Fibonacci számrendszer is. Ezen kívül nem csak helyi értékes számrendszerek vannak, hanem additív számrendszerek pl. az arab számok.

"Még egy kérdésem lenne - hiába kerestem a neten:

"...teljesen kerek az azt jelenti hogy 7-nek valamelyik hatványa" <--> egy számjegy meg nullák

Tehát az első számjegy csak 1 lehet?"

Kerek az a szám mely 0-ra végződik vagy másként az amelyik osztható a számrendszer alapszámával, teljesen kerek logikusan az amelyik felírható olyan szorzatra melynek minden tagja a számrendszer alapszáma, azaz az alapszám hatványa ekkor nyilván hogy 1-essel kell hogy kezdődjön. Ezen kívül teljesen kerek maga a 0 is hiába nem írható fel ilyen szorzatra.

Osztással is meg lehet közelíteni a kérdést, (a 0 is osztható).