Mik azok a mátrixok és miket lehet kiszámolni velük?

A mátrix ha úgy tetszik, akkor egy táblázat, aminek soraiban és oszlopaiban valamilyen matematikai kifejezés áll. Ha épp az a nézet tetszik, akkor képzelheted úgy is, mint azonos hosszú vektorok listája.

[link]

Rengeteg minden számolható felük lényegesen hatékonyabban, mint más módszerekkel, csak a megfelelő modellt kell hozzá megalkotni.

Mátrixokat használnak pl robotkarok mozgatására, feladatok optimális elvégzésének megtervezésére, kapcsolati rendszerek elemzésére. De ha 3D-s játékkal játszol, akkor a 3D-s objektumok mozgatására, transzformálásara is mátrixokat használnak.

A Wikipédia leírása egész érthető: [link]

Ugyanitt leírják, hogy mire lehet használni: [link] #Alkalmaz.C3.A1sok

A mátrixok lineáris transzformációk, avagy operátorok reprezentációi. Most felvázolom röviden és tömören, hogy honnan is jön ez.

Legyen V egy n dimenziós v vektortér és benne az X halmaz bázis, X={x_1, ..., x_n}

Ekkor bármely V-beli x vektort felírhatjuk a bázis lineáris kombinációjaként, tehát:

x=∑_{i} α_{i} * x_{i}

Most alkalmazzuk az A operátort az x vektoron és indexeljük j-vel x-et.

Ax_{j}=∑_{i} α_{i, j} * x_{i}

Az operátorok egyébként a funkcionálok általánosítása, amik pedig a függvények általánosítása, első közelítésben elég annyit tudni, hogy vektorhoz vektort rendel. Tehát az A operátor az x vektorból így "csinál" másik vektort. Az itt fellépő (α_{i,j}) skalárokat felírhatjuk egy számtáblázatba, ha j speciálisan megyeggyezik n-nel, akkor j=n, és az A operátort reprezentáló mátriy az alábbi alakú:

(α_11 α_12 ... α_1n)

(α_21 )

(. . )

(. . )

(. . )

(α_n1 α_nn)

Nem tudom, hogy hogy fog megjelenni a táblázat, remélem jó lesz, de ha mégsem, akkor:

az x_j vektorok alkotják a mátrix oszlopait és a különböző komponensek a sorokat.

Tehát a mátrix nem más, mint egy számtáblázat, ami ebben az esetben n^2 skalárból áll. Egyébként a vektorok általánosítása a tenzor. Minden fizikai mennyiség tenzor, a 0. rendű tenzor a skalár, 1. rendű a vektor, 2. rendű a mátrix. A rend száma a skalárok indexe, 0. rendűnél nincs index, tehát valóban egy darab számmal van dolgunk. 1. rendűnél 1 index van, például egy három dimenziós vektor komponenseit megadhatjuk így_ x_{i}, ahol i=1, 2, 3. Ha 2. rendű a tenzor, akkor a fentebb már vázolt két indexes skalárhoz jutunk, amit egy mátrix reprezentál. Ez már inkább fizikai kitekintő volt, mondhatni, hogy a különböző indexű fizikai tenzorok és matematikai objektumok közötti izomorfiát vázoltam.

Mátrixokat ezentúl a következő jelőléssel fogom használni, legyen az A mátrix A=(α_{i,j}) és a B mátrix B=(β_{i,j}).

Értelmezzük a mátrixok:

-összeadását:

(α_{i,j})+(β_{i,j})=(α_{i,j}+β_{i,j})

tehát a mátrixokat komponensenként adjuk össze.

-skalár szorosát:

α(α_{i,j})=(αα_{i,j})

tehát egy skalár a mátrix minden elemét megszorozza.

-mátrixok szorzatát:

(α_{i,j})*(β_{i,j})=∑_{k}(α_{i,k})+(β_{k,j})

Ennek bizonyítása:

Legyen C=AB (operátorok).

Cx=A(Bx)=A[∑_{i} α_{i,j} x_{i}]=∑_{i} β_{i,j} Ax_{i}=[∑_{i} β_{i,j} ∑_{k} α_{k,j}x_{k}]=∑_{i}(∑_{k} α_{i,k} β_{k,j}) x_{i} ==> γ_{i,j}=(∑_{k} α_{i,k} β_{k,j})

Tehát a mátrixok szorzatát úgy értelmezzük, hogy az egyik mátrix oszlopának elemit szorozzuk össze a másik mátrix sorának elemeivel és ezeket összeadjuk, ez adja a megfelelő komponensét a szorzatmátrixnak. Ebből az is következik, hogy tetszőleges mátrixokat nem lehet összeszorozni, csak olyanokat ahol az egyik mátrix sorainak száma megegyezik a másik mátrix oszlopainak számával.

Nem hinném, hogy elsőre szeretnél többet tudni, mint amit itt vázoltam. Ha valamit elírtam, akkor elnézést előre is, de rohanok, úgy is le fogják ellenőrizni ezt mások, de szerintem nem írtam el semmit.

Szép napot!

Ha nem korrekt definíciót akarsz, akkor "számtáblázatok". Ha viszont korrekt definíció akarsz, ahhoz(egyetemi) matematikai előképzettséggel rendelkezned kell, ahogy az a 3. válaszból is látszik. Az a válasz egyébként jól példázza a matematikai formalizmus lényegét, még ha egy átlagos középiskolás aligha tud vele mit kezdeni.

Hogy egy középiskolában is felmerülő kérdéskört mondjak, például mátixokkal megfogalmazhatóak a lineáris egyenletrendszerek.

Egy n ismeretlenes, m egyenletből álló lineáris egyenletrendszer Ax=b alakban írható, ahol

A adott, n oszlopból és m sorból álló mátrix (az együtthatók mátrixa), x ismeretlen n dimenziós, b pedig adott m dimenziós vektor.

Például az

x(1)+3x(2)=2

2x(1)-4x(2)=3

-x(1)+7x(2)=1

egyenletrendszernél

A=(1 3

2 -4

-1 7)

b=(2,3,1)

A fent részletezett mátrix-szorzás a megadott egyenletrendszert eredményezi.

Így a lineáris egyenletrendszerekkel kapcsolatos kérdések vizsgálhatóak az A mátrix bizonyos tulajdonságai által.