Hogyan lehet egyszerűsíteni a következő törtet?

A számlálót és a nevezőt is gyöktényezős alakban kell felírnunk, ehhez viszont kellenek a gyökök, vagyis az

x^5-2x^3+x=0, és

x^3+2x^2-x-2=0 egyenletek megoldásai kellenek.

Az elsőnek szemmel láthatólag x=0 megoldása lesz. Itt még könnyű dolgunk lesz, egyszerűen ki kell emelnünk x-et:

x(x^4-2x^2+1), most azt kell megnéznünk, hogy az x^4-2x^2+1=0 egyenletnek mik a megoldásai. Vagy próbálgatunk, vagy használjuk a racionális gyöktesztet; szerencsére látható, hogy x=1 megoldása lesz az egyenletnek, tehát osszuk el polinomiálisan az x^4-2x^2+1-et (x-1)-gyel, ekkor x^3+x^2-x-1-et kapunk, tehát ezt kapjuk:

x*(x-1)*(x^3+x^2-x-1), most a 3. tényező gyökei kellenek. Itt is szerencsésen észrevehető, hogy x=1 megoldás lesz, tehát megint x-1-gyel osztunk, így x^2+2x+1-et kapunk:

x*(x-1)*(x-1)*(x^2+2x+1), az utolsó tag egy teljes négyzet (ha nem vennénk észre, akkor számoljuk ki a gyökeit a megoldóképlettel), így x*(x-1)*(x-1)*(x+1)*(x+1)-et kapunk, tehát ez az eredeti polinom gyöktényezős alakja.

Ugyanezt tegyük meg a nevezővel is; itt azért lesz könnyebb dolgunk, mivel arra hajtunk, hogy az eredeti törtet tudjuk egyszerűsíteni, az pedig csak akkor fog sikerülni, ha a két polinomnak van közös gyöke, tehát a -1, 0, 1 közül kell válogatnunk; x=1 esetén 0 lesz az értéke, tehát megint polinomosztással kell elosztanunk a nevező polinomját x-1-gyel;

Véletlenül elküldtem idő előtt a választ...

x^2+3x+2 lesz a polinomok hányadosa:

(x-1)*(x^2+3x+2), a második tag gyökei a megoldóképlet alapján -1 és -2, ezért (x-1)*(x+1)*(x+2) alakban felírható a nevező, így:

(x^5-2x^3+x)/(x^3+2x^2-x-2)=

x*(x-1)*(x-1)*(x+1)*(x+1)

_________________________

(x-1)*(x+1)*(x+2)

Ebből már látható, hogy tudunk egyszerűsíteni x-1-gyel és x+1-gyel, így

x*(x-1)*(x+1)

______________

(x+2)

törtet kapjuk; ha visszaírjuk polinomalakra, akkor

x^3-x

______

x+2

törtet kapjuk.

Ez a függvény mindenhol folytonos, kivéve ott, ahol a nevező értéke 0, vagyis x€R\{-2;-1;1} lesz az értékkészlete, és -2;-1;1-nél szakad a függvény, mindenhol máshol folytonos lesz.