A differenciálegyenleteknek mi az értelme, mi a célja a felhasználhatósága?

megkapod a meredekségét

mi lokális szélsőértékek meghatározásához használtuk, a második deriváltat meg inflexiós pontok meghatározásához

Egy függvény deriválásával azt tudod meg, hogy milyen gyorsan változik.

Az meg csak érdekes dolog, hogy milyen gyorsan változik valami, nem? Például nem mindegy, hogy milyen gyorsan közeledsz a munkahelyedre a dugóban. Ennek jellemzésére vezették be a hátralevő utad idő szerinti deriváltját, azaz a sebességet.

Aztán észrevették, hogy a dolgok megfelelő deriváltjai között lehetnek összefüggések, egyenlőségek. Ezek lettek a differenciálegyenletek. Például ha meg akarod tudni, hogy hogyan gyorsul valami, és tudod, hogy milyen erők hatnak rá, akkor a sebességének deriváltja egyenlő lesz a rá ható erő 1/m-szeresével, és egyből van egy hasznos differenciál egyenleted. Például a közegben aránylag nagy sebességgel mozgó testre:

v'(t) = k/m*(v(t))^2,

és ebből ki tudod találni, mikor milyen gyorsan megy.

Sokszor egy kérdéses függvényre csak differenciál (esetleg integro-differenciál) egyenletet tudsz felírni, magát a függvényt pedig csak úgy tudod meghatározni, hogy megoldod a differenciálegyenletet.

Például ilyen lehet a radioaktív bomlás, ahol azt tudod, hogy az egységnyi idő alatt elbomló atommagok száma arányos az összes atommag számával ( a kettő közötti arányosságot pedig bomlási állandónak hívjuk és λ-val jelöljük):

dN=dt = - N * λ

Képzelj el egy olyan esetet, amikor az (1)-es atommag elbomlik (2) atommaggá, amely aztán tovább bomlik, különböző bomlási állandókkal. Ekkor az egyes atommagra felírható egyenlet ugyan az, mint az előbb:

d N1 / dt = - N1 * λ1

A második atommagra pedig:

d N2 / dt = + N1 * λ1 - N2 * λ2

Az első egyenlet még viszonylag triviális, a másodikat már nem biztos hogy mindenki meg tudná oldani, aki nem tanulta a differenciálegyenleteket. ( És a fizikában ennél sokkal csúnyább egyenletek is elő tudnak kerülni.)

A természet tele van olyan összefüggésekkel ami differenciálegyenletekhez vezetnek.

Például a rugóra akasztott test mozgásának a leírása.

Az életben sok mindent kell tudni megoldani a munkába járástól a hatékony munkavégzésen át az atomrobbanás megakadályozásáig. És ahány ember, annyifélét akar.

Ebben a káoszban el kéne valahogy igazodni. Ezt már jó régen így gondolták, elkezdek töprengeni, és arra jutottak, hogy modelleket kell gyártani. A modellekkel leírni egy-egy jelenséget (egyet könnyebb, mint egyszerre mindet), és szabályosságokat kéne észrevenni abból a célból, hogy ne minden alkalommal kerüljünk kényelmetlen helyzetbe (például, hogy az ősember jól tudjon célozni a nyilával, a mai ember pedig televíziót és okostelefont gyártson, mert az jó).

A matematika nem egyéb, mint az ilyen modellek "szabályainak" egy speciális rendszere. Valójában ugyanez helyzet a fizikával, kémiával, de még a nyelvészettel is. És ezekben a rendszerekben ahhoz, hogy valamire választ kapjunk, sok minden mást is ki kell "találni", különben nem lesz válasz az eredeti kérdésünkre.

Aki azonban a differenciálegyenletek értelmét és célját meg karja fejteni, nem tehet egyebet, mint sok mindent megtanul. Egyszer csak eljut arra a szintre, amikor ez világossá válik. Munka nélkül nem lehet eredményt elérni, a tudomány világában különösen nem.

Az a helyzet, hogy a világ fizikai működésének legnagyobb részét PONT a diff.egyenletekkel lehet jól leírni.

Olyan iszonyat sok alkalmazása van, hogy szinte lehetetlen olyan példát hozni, ahol nem. :)

De ha a legalapvetőbb alkalmazásnál, a szélsőérték-számításnál maradunk, bármi folyamatnak ,ami függvénnyel leírható, a minimumát, maximumát ezzel lehet a legjobban meghatározni. De ez csak a jéghegy csúcsa.