Bizonyítsuk be, hogy a háromszög köré írt kör felezi az oldalegyeneseket érintő körök középpontjait összekötő szakaszokat?

Ilyen komoly feladatoknál meg szoktam nézni, hogy jól van- kiírva? (Igaz-e a bizonyítandó?)

[link]

Azután hasonló feladatokat keresek:

[link]

Találtam még feladatokat:

[link]

[link]

Paff neki. Szóval a feladat az, hogy ha a beírt kör középpontja I, a hozzáírt köröké O1, O2, O3, akkor a körülírt kör felezi az IO1, IO2, IO3 szakaszokat.

Egyik kedvenc állításom, nem is értem hogy nem ismertem fel :)

Legyen a BC oldalnál érintõ hozzáírt kör középpontja O. Ekkor IBO és ICO derékszögek, vagyis IBOC egy körön vannak, valahol IO-n van a középpontjuk. Igaz az is, hogy a kör középpontja egyenlõ távolságra lesz B-tõl és C-tõl. Tehát IBOC középpontja IO és BC felezõ merõlegesének metszése lesz.

Már csak azt kell belátni hogy ABC k körülírt köre ugyanitt metszi IO-t. És tényleg, mivel IO az A-nál levõ szögfelezõ, ezért k és IO metszéspontja egyenlõ távolságra lesz B-tõl és C-tõl (kerületi szögek), tehát IBOC középpontja, tehát felezi IO-t.

Q.E.D.

Ja, az O1, O2, O3 -nak a Feuerbach-köre az ABC körülírt köre.

(vagy mehet ugyanúgy, ahogy írtam, direktben)