Hogyan lehetne ezt megoldani?

Az egyetlen megoldás x,y,z = 0, ha a jobb oldal 0 lesz,

akkor a bal oldal minden négyzete 0 kell legyen ahhoz, hogy az egész bal oldal 0 legyen.

Tegyük fel, hogy x, y, z nem egyenlőek 0-val.

2xyz páros számot ad, tehát x^2 + y^2 + z^2 is páros lesz.

Két eset áll fenn:

(i) x,y,z közül csak egyik páros.

(ii) x,y,z mind párosak.

------------------------

(i) Legyen x,y páratlan és z páros.

x = 2a + 1, y = 2b + 1 and z = 2c.

Ebből következik:

(2a + 1)^2 + (2b + 1)^2 + (2c)^2 = 2(2a + 1)(2b + 1)(2c)

==> 4a^2 + 4a + 4b^2 + 4b + 4c^2 + 2 = 2(2a + 1)(2b + 1)(2c)

==> 2(a^2 + a + b^2 + 2b + 2c^2) + 1 = 2[(2a + 1)(2b + 1)c].

Ez lehetetlen, mert a bal oldal páratlan, a jobb oldal pedig páros.

------------------------

(ii)x,y,z páros számok.

Szóval, x = 2a, y = 2b, and z = 2c.

Ebbből következik:

(2a)^2 + (2b)^2 + (2c)^2 = 2(2a)(2b)(2c)

==> a^2 + b^2 + c^2 = 4abc.

Az eredeti helyzethez képest (x^2+y^2+z^2=2xyz) ez abban különbözik, hogy a jobb oldalon 2-es helyett 4-es van.

Ez csak akkor lehetséges, ha x = y = z = 0.

Remélem érthető.