Ird le azokat a kétjegyű számokat, melyekhez hozzáadva a szám számjegyeinek a megforditásával kapott kétjegyű számot, négyzetszámot kapunk? Válaszodat indokold!

XY+YX=N, ahol X az egyik számjegyet, az Y pedig a másikat jelöli.

Ezt fel lehet úgy is írni, hogy: 10X+Y+10Y+X=N vagyis: 11(X+Y)=N

X és Y maximális értéke 9 lehet, vagyis N maximális értéke 198. Tehát eddig érdemes összeszedni a négyzetszámok négyzetét. Vagyis: N={1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196}

Mivel X és Y természetes szám, az összegük: (X+Y)={1, 2, 3, ..., 16, 17, 18}

Érdemes lehet 11-el elosztani a fenti egyenlet mindkét oldalát, így ha az N-es oldalon egész szám marad 1 és 18 között akkor ott lehet hogy lesz megoldás. A 11 alatti N-ekkel tehát nem is érdemes próbálkozni. Egész szám pedig akkor fog maradni, hogyha 11 többszörösét osztjuk el. Ilyen például a 11, 22, 33 stb. Látszik, hogy csak a 121 felel ennek meg, vagyis:

121=11(X+Y)

X+Y=11

Most már csak össze kell szedni azokat a természetes számpárokat, amiknek az összege 11. A következők lehetnek:

(2,9); (3,8); (4,7); (5,6).

Ebből már közvetlen kiolvasható a megoldás, ami nem más mint:

29, 38, 47, 56, 65, 74, 83, 92

Miért írjam le?

Egyáltalán, ki vagy te, hogy megmondd nekem, mit csinájak?