A pozitiv egesz szamokat csoportositottuk (1), (2,3), (4,5,6), (7,8,9), (11,12,13,14,15). Hanyadik csoportban talalhato 2006, es a csoporton belul hanyadik helyen van?

Gondolom ez:

(1), (2,3), (4,5,6), (7,8,9), (11,12,13,14,15)

Ez akart lenni:

(1), (2,3), (4,5,6), (7,8,9,10), (11,12,13,14,15)

(Kimaradt a 10-es.)

~ ~ ~

Az első csoport 1 tagból áll.

A második 2 tagból áll.

A harmadik 3 tagból.

A negyedik 4 tagból.

Ez egy számtani sor.

Egy csoport 1 tagból áll.

Két csoport 1+2 tagból áll.

Három csoport 1+2+3 tagból áll.

Ez meg nem más, mint számtani soroknak az összegképlete:

S = n * (1 + n) / 2

Így n csoport n * (1 + n) / 2 tagból áll.

Nyilván 2006 valamelyik – x-dik – csoportnak a tagja. Erre igaz lesz, hogy:

(x-1) darab csoport tagjainak száma < 2006

x darab csoport tagjainak száma ≥ 2006

Így a legkisebb olyan pozitív egész x-et keressük, amire igaz, hogy:

x * (1 + x) / 2 ≥ 2006

Ebből tudjuk, hogy melyik csoportban van a 2006. Hogy az előző csoportok tagjainak száma mennyi, azt ki lehet számolni:

(x-1) * x / 2

Meg kell nézni, hogy ennél mennyivel több a 2006, és ez lesz a csoporton belüli sorszáma.

~ ~ ~

Szádékosan nem oldom meg számokkal helyetted. De mutatom a folyamatot, mondjuk az a kérdés, hogy a 14 hányadik helyén van a csoportban.

x * (1 + x) / 2 ≥ 14

x² + x ≥ 28

Másodfokú egyenlet megoldóképletét használva kijön, hogy:

x₁ ≤ −5,815072906 (Nyilván ez nekünk nem jó, mi pozitív egész megoldást várunk.)

x₂ ≥ 4,815072906

x = 5

Tehát a 14 az 5. csoportban van.

Oké, most nézzük meg, hány elem van az első 5-1=4 csoportban összesen:

S = 4 * (1+4) / 2 = 10

Tehát az ötödik előtti csoport a 10-es számmal fejeződött be. A csoporton belül tehát a 14 a 14-10=4, azaz negyedik helyen van.