Ebben az esetben mit jelent az R?
"Az An számsorozatot nullsorozatnak nevezzük, ha bármely r > 0 esetén legfeljebb
véges sok n ∈ N létezik, melyre An távolsága 0-tól nagyobb mint r, azaz |an| > r."
Na, ez egy teljesen jó definíció, csak épp nem értem, hogy mi az r?
Tehát van egy számsorozat 1,2,3.
A1=1, A2=2, A3=3.
Oké, de mi az r?
Az, hogy 3 darab szám van? Vagy mi?
Ábrázold az |A(n)| sorozat tagjait derékszögű koordináta-rendszerben (ahogyan a függvények pontjait szoktad).
A definíció azt mondja, hogy ha ebben a rendszerben vízszintesen behúzol egy egyenest az x-tengely fölötti félsíkon bárhova (ami az f(x)=r függvény gyakorlatilag), akkor a sorozatnak véges sok tagja lesz ezen egyenes fölött.
Például ha veszed az
a(n) = 1/n
és behúzod például az f(x)=0,02 egyenest, akkor azt tudod mondani, hogy az 1/1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, ..., 1/49 tagok az előbbi egyenes fölött lesznek, 1/50 pont ráesik, az utána lévő tagok pedig mind alatta vannak. Tehát r=0,02 esetén a a(n) sorozatnak 49 tagja van a kijelölt egyenes fölött, ami az első 49 tag, a többi az vagy az egyenesen, vagy alatta van.
Ha nullsorozatról van szó, akkor ezt az egyenest bárhova behúzva mindig véges sok tag lesz az egyenes fölött.
Ha vesszük a b(n) = sin(n)/n sorozatot, akkor ennek már lesznek negatív tagjai is. Ebben az esetben már szükséges, hogy a |sin(n)/n| sorozatot jelöljük, hogy a lehetséges r-eket tudjuk vizsgálni. Ennek a sorozatnak az is érdekessége, mivelhogy nem szigorúan monoton, hogy bizonyos r-ek esetén me, az egymást követő tagok lesznek r felett, hanem olyan tagok is lehetnek, amik menet közben beklerülnek az egyenes alá, utána megint fölötte (és ezt a "hullámzást" véges sokszor megcsinálhatja).
Fontos, hogy MINDEN r-re működjön. Például ha veszed a
c(n) = cos(n)
sorozatot, akkor r>1 esetén mindig igaz lesz, hogy a sorozatnak véges sok tagja van az egyenes fölött (pontosan 0 darab tagja), ha viszont 1-nél kisebb számot veszel, akkor ugyanezt nem tudod elmondani, mivel például ha r=0,76, akkor a
cos(n)>0,76
egyenlőtlenségnek végtelen sok (egész) megoldása van, tehát a c(n) sorozat ebben z esetben nem lesz nullsorozat.
Ezzel ekivivalens definíció: ha az {a(n)} sorozat nullsorozat, akkor
lim a(n) = 0
n->végtelen,
vagyis a sorozat határértéke a végtelenben 0.
A valós számok halmazát. Mivel 0-nál nagyobbnak kell lennie, a pozitív valós számok halmazát.
A halmazelmélethez még egy kis segítség:
N - a természetes számok halmaza
Z - az egész számok halmaza
Q - a racionális számok halmaza
Kapcsolódó kérdések:
Minden jog fenntartva © 2024, www.gyakorikerdesek.hu
GYIK | Szabályzat | Jogi nyilatkozat | Adatvédelem | Cookie beállítások | WebMinute Kft. | Facebook | Kapcsolat: info(kukac)gyakorikerdesek.hu
Ha kifogással szeretne élni valamely tartalommal kapcsolatban, kérjük jelezze e-mailes elérhetőségünkön!