Ha f valós függvény értelmezve van [-1,2] zárt intervallumon, akkor az f függvény deriváltja korlátos-e a (0,1) nyílt intervallumon? Indokoljunk!

Az jó ellenpélda, hogy egy olyan függvényt rajzolok kézzel, amelyik az x tengely és az (x-0,5)^2 között marad (tehát a deriváltja az x=0.5 helyen zéró), úgy, hogy létezzen tetszőlegesen nagy deriváltja a (0,1) intervallumon.

Azaz, megyek balról a ceruzával a 0.5 felé, rajzolok egy buckát aminek van 1 meredekségű része, megyek tovább, rajzolok egy 2 meredekségűt, stb.

Csak arra kell vigyáznom hogy a két vonal között maradjak, és, akkor 0.5-ben is diffható lesz a függvény. (Mindenhol máshol pláne diffható.)

Például az

f(x) := sin(1/x^10) * x^2

függvény szokott lenni a magszokott ellenpélda, hogy a deriváltfóggvény nem feltétlenül folytonos vagy korlátos.

f(x) végig x^2 és -x^2 között marad, tehát 0-ban is diffható (máshol meg pláne), viszont nagyon vadul oszcillál a 0 körül, "tehát" ott tetszőlegesen nagy értéket felvesz.

Érdemes lehet lederiválnod hogy mit kapsz. Nem 0-ban a szabályok szerint, 0-ban pedig a deriválás definíciója szerint.

Példa:

f(x)=

√(x-0,5) ha x≥0,5

-√(-x+0,5) ha x<0,5

Ez értelmezve van [-1, 2]-n, még folytonos is, de a deriváltja nem korlátos x=0,5-ben.

Nem az a feltétel hogy folytonos az intervallumon, hanem az, hogy diffható az intervallumon.

Legalábbis csak így van értelme a feladatnak.

A megoldásom pedig _jó_, menjen a csudába el, aki lepontozta.