Teljes indukciós bizonyítás? Egyenlőtlenség!
A gondot pont az egyenlőtlenség okozza..egyenlők esetén betudok bizonyítani teljes indukcióval.
A Feladat :
1 + 1/gyök(1) + 1/gyök(2) + 1 / gyök(3) + ... + 1 / gyök(n) <= 2*gyök(n+1)
Megnéztem n=1,2 -re jó volt..feltételeztem hogy bármely k valós számra igaz..és k+1 -re ugrottam
Ekkor az alábbi jött ki :
1 + 1/gyök(1) + 1/gyök(2) + .... + 1/gyök(k) + 1/gyök(k+1) <= 2*gyök(k+2)
De most az elejére az (1 + 1/gyök(2) + ... 1/gyök(k)) behelyettesíteni az előző 2*gyök(k+1)-et akkor felborulna az egyenlőtlenség..hiszen a 2*gyok(n+1) az nagyobb az állítás szerint.. Ezért nem értem milyen alkot kellene ebből kihozni?
Válaszokat előre is köszönöm !
Még azt találtam ki ,hogy beírható úgy a helyére hogy
1 + 1/gyök(1) + ... 1/gyök (k) + 1 / gyök(k+1 ) <= 2*gyök(k+2)
ám tudjuk , hogy a bal oldalinál biztosan nagyobb a :
2*gyök(k+1) + 1/gyök(k+1) ... ám ezután nem tudom azt állítani, hogy ennél a 2*gyök(k+2) nagyobb.
válasza:Ez inkább vicc, mint komoly segítség, de pl. sorba fejtheted a gyök(n+1)et
Nyilván ez nem teljes indukció és csak akkor igaz ha n-> végtelenbe
válasza:A jobboldalon 2*gyök(n)-et írva is teljesül, ezt látjuk be:
Jelöljük A(n)-nel az eredeti bal oldali kifejezést, B(n)-nel pedig a jobb oldalit.
Ekkor
A(n+1)-A(n)=1/gyök(n+1)
B(n+1)-B(n)=2*gyök(n+1)-2*gyök(n)
Most a "konjugálttal" gyöktelenítve az utóbbit:
B(n+1)-B(n)= [4(n+1)-4n)]/[2*gyök(n+1)+2*gyök(n)]
B(n+1)-B(n)= 4/[2*gyök(n+1)+2*gyök(n)]
B(n+1)-B(n)= 2/[gyök(n+1)+gyök(n)]
Hasonló alakra "pofozva":
A(n+1)-A(n)=2/[gyök(n+1)+gyök(n+1)]
Mivel ez utóbbi tört nevezője nagyobb, ezért
A(n+1)-A(n)<B(n+1)-B(n)
Tehát, ha n=1-re teljesül az egyenlőtlenség, akkor n növekedtével egyre inkább teljesül.
és mivel 2*gyök(n+1)>2*gyök(n), ezért igaz az állítás
válasza:Lásd be, hogy ha n-et növeled, akkor a bal oldal kevesebbet nő, mint a jobb, azaz
1/sqrt(n+2) <= 2 [ sqrt(n+3) - sqrt(n+2) ].
Mondjuk: négyzetre emeled, majd a kapott gyökös tagot elkülöníted, megint négyzetre emeled. (Nem csináltam meg.) Vagy ahogy akarod.
És utána alkalmazod a teljes indukció elvét.
válasza:Jav:
1/sqrt(n+1) <= 2 [ sqrt(n+2) - sqrt(n+1) ].
Tehát az egészre lehet úgy tekinteni mint egy egyenlet rendszer...
1+1/gyök(1) + 1 / gyök(2) + ... 1/gyök(n) <= 2*gyok(n+1)
1+ 1/gyök(1) + 1/gyök (2) + ...1/gyök(n) + 1/gyök(n+1) <= 2*gyök(n+1)
Ekkor a másodikból kivonva az elsőt azt kapjuk hogy :
1/gyök(n+1) <= 2*gyök(n+2) - 2*gyök(n+1)
Innentől pedig gyök(n+1) - el beszorozva
1<= 2*gyök(n+2)*gyök(n+1) - 2*gyök(n+1)*gyök(n+1)
1<=2*gyök(n+2)*gyök(n+1) - 2n-2
2n+3<= 2*gyök(n+2)*gyök(n+1) innen négyzetre emelve ellentmondáshoz jutok.
válasza:Nem jó, egyenlőtlenségeket nem vonhatsz ki egymásból, azaz nem igaz az
I) a<b
II) c<d
==> a-c < b-d
következtetés.
Összeadni viszont összeadhatod őket.
De akkor a te képletedben, hogy jött ki az
1/gyök(n+1) <= 2*gyök(n+2) -2*gyök(n+1)
Illetve a második hozzászóló, aki szintén kivonta egymásból az n és az n+1-es részt, csak elnevezve.
válasza:Nem jött ki sehogy.
Az a képlet a fölötte levő szöveg leírva jelekkel. Be kell látni. (Én nem tettem meg, de azért ábrázoltattam programmal valós n-re, és igaznak tűnt.)
És ha belátod, akkor, _összeadva_ az n-ik egyenlőtlenséggel, éppen az (n+1)-ik egyenlőtlenséget kapod meg (immáron bizonyítva).
És ez így egy teljes indukciós bizonyítás lesz.
Kapcsolódó kérdések:
Minden jog fenntartva © 2024, www.gyakorikerdesek.hu
GYIK | Szabályzat | Jogi nyilatkozat | Adatvédelem | Cookie beállítások | WebMinute Kft. | Facebook | Kapcsolat: info(kukac)gyakorikerdesek.hu
Ha kifogással szeretne élni valamely tartalommal kapcsolatban, kérjük jelezze e-mailes elérhetőségünkön!