(n-2) * (n+13) =2^m Ezt hogyan kell megoldani szakszerűen?

Felteszem, hogy n és m is pozitív egészek. Ebben az esetben a jobb oldalon 2-hatvány van, ez azt jelenti, hogy a jobb oldalon is 2 hatványának kell lennie, ez pedig csak úgy lehet, hogyha (n-2) és (n+13) is 2-hatvány.

Most vegyük észre, hogy két olyan számot keresünk, hogy az egyik 15-tel nagyobb legyen a másiknál. Mivel a kettőhatványok az 1-et leszámítva mind párosak, ezért különbségük is szükségszerűen mindig páros lesz, így tehát az egyik tényezőnek 1-nek kell lennie, ételemszerűen a kisebbnek, ez n=3-ra fog teljesülni, más lehetőség nincs.

Lássuk, hogy n=3-ra m értéke egész lesz-e;

1*16=2^m, vagyis 16=2^m, erre m=4 adódik, és mivel a 2^m függvény szigorúan monoton (ami azt jelenti, hogy minden értéket -így a 16-ot is- legfeljebb 1-szer vesz fel), ezért más megoldás nem lehet.

______

Ha n és m is valós, akkor az általános megoldás:

Ha m értékét szeretnénk megtudni n függvényében, akkor a logaritmus definíciója szerint m=log(2)[(n-2)*(n+13)], ahol a logaritmuson belüli kifejezés értéke pozitív kell, hogy legyen.

Ha n értékét szeretnénk megtudni m függvényében, akkor bontsuk ki a zárójelet, majd a jobb oldalt redukáljuk 0-ra:

n^2+11n-26-2^m=0, ennek a másodfokú egyenlet megoldóképlete szerint a megoldása (m függvényében):

n_1;2=(-11+-gyök(121+4*1*(26+2^m))/(2*1), ránézésre tetszőleges m-re értelmezhető.