Hogyan kell ezt megcsinálni?

t = 0 s: A hajó hangjelet bocsájt ki.

t = x s: A hajó elmozdult. A hanghullám elérte a feneket függőlegesen lefelé haladva.

t = 3 s: A hajó még messzebb van. A hanghullám eléri a hajót.

Ez egy derékszögű háromszög. A nagyobb befogó (h) a tenger mélysége, a kisebbik a hajó elmozdulása (d). Értelemszerűen a hang a lefeléutat és az átfogót teszi meg.

Az első megoldással csak annyi a probléma, hogy az a hangjel, amit a hajó merőlegesen leküldött, az merőlegesen is fog visszapattanni.

Az egyszerűség kedvéért tegyük fel, hogy a tengerfenék pázhuzamos a víz felszínével (vagyis a hajó útvonalával), ekkor ugyanolyan szögben fog visszapattanni onnan, ahogyan becsapódott (mint ahogyan eldobsz például egy labdát). Ez az információ azért érdekes, mert az odaút és a visszaút hossza ugyanakkora lesz, a hajó útjával együtt pedig egy egyenlő szárú háromszöget fog meghatározni.

A hajó 1 óra alatt 30 km-t, vagyis 30.000 métert tenne meg (feltételezve, hogy egyenes vonalú, egyenletes mozgást végez). Mivel 1 óra = 60 perc = 60*60 másodperc = 3600 másodperc, ennek az 1/1200 része a 3 másodperc, ezért a hajó 30.000/1200=25 métert tesz meg.

A hang 3 másodperc alatt 3*1450=4350 métert tett meg, két részletben, melyek hossza ugyanakkora, vagyis 2175 métert.

Így kaptunk egy egyenlő szárú háromszöget, melynek alapja 25 méter, szárai 2175 méter hosszúak. A tengermélységet ennek a háromszögnek az alapra merőleges magassága adja meg. Ha ezt behúzzuk, akkor két derékszögű háromszög keletkezik, melynek egyik befogója 25/2=12,5 méter, másik átfogója legyen m, átfogója pedig 2175 méter hosszú. Mivel derékszögű háromszögről van szó, ezért Pitagorasz tételének teljesülnie kell, vagyis:

12,5^2 + m2 = 2175^2, erre m=2174,964 adódik, tehát a tenger ~2175 méter mély.

(Az eredmény közel annyi, mint az egyenlő szárú háromszög hossza. Ez azért van, mert ebben a számításban a hajó 25 méteres elmozdulása arányaiban nézve sok vizet nem zavar, akár állhatna is.)

#2: Sosem. A hang nem lézer. Emiatt egy gömbszelet hullámfront éri el a feneket, és onnan visszaverődve egy még nagyobb a felszínt.

s = h+sqrt(h^2+(30km/h*3s)^2)

s/3 s = hangsebesség

A lefelé induló hanghullám kúpalakú hullámfrontja függőlegesen lefelé halad. Ennek magassága a tenger mélysége (h). Innen felfelé egy gömbhullám halad. Ez legelőször azt a helyet éri el, ahonnan indult,de addigra a hanó elmozdult. Node ez a hullámfront kör alakban tágul, és utoléri a hajót. Emiatt lesz ez derékszögű háromszög.

Akkor lenne egyenló oldalú, ha a hang labda lenne, aminek a pályáját az eldobás szöge és az eldobás helyének (pl. vasúti kocsi sebessége) mozgásállapota befolyásolja. De ennek nincs jelentősége.

Igen ám, csakhogy a példa annyira kezdetleges, hogy valószínűleg még mindent pontszerűnek tekintenek, így a hangot is. Ha viszont pontszerűnek van tekintve, akkor az pontszerű is marad. Ebben az esetben viszont az én megközelítésem lesz a nyertes.

Arról nem beszélve, hogy a te megközelítéseddel maga az egyenlet is bonyolódik; Pitagorasz tételének értelmében:

25^2 + m^2 = (4350-m)^2, ami egy másodfokú egyenlethez vezet, amit még lehet, hogy nem is tanult megoldani. (Az más kérdés, hogy elsőfokúra redukálódik, de ha a jobb oldalt rosszul bontja ki, máris vége a dalnak.)

Viszont ennek is hasonló a megoldása, így talán mindegy is, hogy az egyszerűsített, vagy a még jobban egyszerűsített modellel számol.

De majd a kérdező eldönti, hogy milyen szinten áll, és melyik megoldásra van szüksége.

1. Ha a hang pontszerűen terjed, akkor az függőlegesen lefele-felfele halad, de az addigra arrébmenő hajó nem érzékeli.

2. h + négyzetgyök(h^2+(30km/h*3s)^2) = 1450m/s*3s.

Itt mindent m/s, s, m-re kell átváltani. Utána a feni egyenletet átrendezni, négyzetre emelni. Utána

h^2+(30km/h*3s)^2 = (1450m/s*3s - h)^2

egyenletet h-ra rendezni. Vége.

Szerintem is egyenlő szárú háromszöggel kell számolni.

Gondoljatok a fényre, és a legkisebb idő elvére.

Természetesen kúpszelet formájában fog terjedni a hang - de a hullámfront különböző részei a tengerfeneket különböző pontban fogják elérni, ahonnan majd visszaverődnek. A visszavert hanghullámok közül a "leggyorsabbat" fogják először észlelni.

Ugyanakkor néhány megjegyzés: 1.) Ha nagyon pontoskodni szerettünk volna, akkor a hajó sebességét, mint szállítósebességet is figyelembe vehettük volna. Ekkor a pontszerű terjedés esetén az egyenlő háromszög számítás jön ki megint. 2.) a hiba a két módszer között szinte a 0-val egyenlő (!) egyébként, mindkettőnél kb. ugyanaz jön ki :-)

Érdekesebb lenne a kérdés mondjuk nagyobb sebességnél, vagy nagyobb mélységeknél. Mintapéldaként nem biztos h. a megértést segíti.