3 a 2019. en+1, osztható 10-el? Ha igen/nem, miért?

Elsőként: A hatványozásnak a szöveges jelölésére célszerű a ^ jelet használni.

2³ → 2^3

3²⁰¹⁹ → 3^2019

Tehát a kérdés, hogy 3^2019+1 osztható-e 10-zel. Tízzel akkor lesz osztható, ha az utolsó számjegye 0.

Három hatványai rendre a következő számjegyekre végződnek: 3, 9, 7, 1, 3, 9, 7, 1, 3, 9, 7, 1, …

Hogy miért ciklikusan ismétlődnek az utolsó számjegyek, azt is be lehet látni, de ettől én most itt eltekintek.

Tehát:

3^(4n+0) utolsó számjegye 1. Pl.: 3^0 = 1, 3^4 = 81, 3^8 = 6561, 3^12 = 531441, …

3^(4n+1) utolsó számjegye 3. Pl.: 3^1 = 3, 3^5 = 243, 3^9 = 19683, 3^13 = 1594323, …

3^(4n+2) utolsó számjegye 9. Pl.: 3^2=9, 3^6=729, 3^10 = 59049, 3^14 = 4782969, …

3^(4n+3) utolsó számjegye 7. Pl.: 3^3=27, 3^7=2187, 3^11 = 177147, 3^15 = 14348907, …

2019|4 = 3

Azaz:

2019 = 4*504 + 3

Így hát 3^2019 ugyanarra a számjegyre fog végződni, mint a 3^3, azaz 7-re. Ehhez egyet hozzáadva egy 8-ra végződő számot kapunk, ami nem osztható 10-zel maradék nélkül.

(Megerősítendő:

[link]

[link]

3^2019 valóban 7-re végződik.)