Mi a megoldása (levezetéssel) a következő feladatnak?

[link]

Nyomogasd a "T" gombot!

A levezetest leirom, a megoldast nem.

Mi azoknak a pontoknak a halmaza, amik A es B pontoktol egyenlo tavolsagra vannak? Termeszetesen az AB szakasz felezomerolegese. Ennek van egy egyenlete, azok a pontok, amik ezen rajta vannak, teljesitik az egyenletet. Azok a pontok, amik a fenti ellipszisen rajta vannak, annak az egyenletet is teljesitik, szoval ha fel tudod irni mindkettot, meg tudod oldani az egyenletrendszert, es annak a megoldasai lesznek erdekesek (persze attol fuggoen, hogy hogy allnak, lehet 0 vagy 1 vagy 2 vagy - extrem esetben (ha az ellipszised teljesen lapos) - vegtelen megoldas is).

Mi kell AB felezomerolegesenek egyenletehez? A legegyszerubb, ha van egy normalvektorunk, es egy (tetszoleges) pontunk az egyenesrol. Az AB szakasz meroleges erre, szoval az A-bol B-be mutato vektor pont jo lesz normalvektornak (B koordinataibol kivonod A koordinatait). n=(4-1;1-3)=(3;2)

AB felezopontja rajta van a felezomerolegesen, ezt ugy tudod legegyszerubben kiszamolni, hogy A es B koordinatainak a szamtani kozepet veszed. Ha elnevezzuk F pontnak, akkor: F=((1+4)/2;(3+1)/2)=(2,5;2).

Ha jol szamoltam, akkor az egyenes egyenlete ugy jon ki, hogy:

3x+2y=3*2,5+2*2=11,5, szoval az n es F skalarszorzataval.

Innentol mar csak meg kell oldani az egyenletrendszert. (kifejezni belole x-et vagy y-t, behelyettesiteni a masikba, rendezni a masodfoku egyenletet, megoldani, es visszahelyettesiteni ebbe, hogy kijojjon a masik koordinata)