Mi az egyenlete annak a P (2;4) ponton átmenő egyenesnek, amelyik a koordinátatengelyekből a legkisebb területű háromszöget vágja le?

Triviális megoldás, hogy az origón halad át az egyenes, ekkor a levágott "háromszög" területe 0.

A feladatnak csak úgy van nem triviális megoldása, hogyha mindkét tengely pozitív oldalát metszi az egyenes (mivel a P pont az első síknegyedben van).

Keressük az egyenest y=mx+b alakban, ekkor az egyenes átmegy az y-tengely (0;b) pontján, ahol b>0 és m<0. Tudjuk, hogy az egyenes átmegy a P(2;4) ponton is, ezeket írjuk be az egyenletbe:

4=m*2+b, ezt rendezzük b-re: 4-2m=b tehát az y-tengelyt a T(0;4-2m) pontban metszi. Ezt írjuk be az általános alakban b helyére, így

y=mx+4-2m, most nézzük meg, hogy ennek hol van zérushelye (y=0):

0=mx+4-2m, kiemelünk m-et:

0=m*(x-2)+4, rendezés után

(-4/m)+2=x, tehát az egyenes zérushelye a Z((-4/m)+2;0) pont.

Ez azt jelenti, hogy az egyenes által levágott derékszögű háromszög egyik befogója 4-2m, a másik -4/m+2 nagyságú, ezek szorzatának fele adja a háromszög területét, vagyis:

(4-2m)*((-4/m)+2)/2, a 2-vel való osztást el is lehet végezni:

(2-m)*((-4/m)+2), ennek kell a minimumát meghatározni, ennek megoldása m=-2 lesz.

Innen be tudod fejezni?

Magához az egyenes egyenletéhez egyszerűbben is el lehet jutni, hogyha használjuk a transzformációs lépéseket; tudjuk, hogy ha az egyenes az origón halad át, akkor felírható y=mx alakban. Ha azt akarjuk, hogy ugyanez az egyenes áthaladjon (2;4) ponton, akkor csak annyit kell tennünk, hogy eltoljuk 2-vel jobbra és 4-gyel fel, ez a tanult transzformációs lépések szerint:

y=m*(x-2)+4, és ugyanezt az egyenletet kaptuk meg, csak az előbb kicsit több lépésben.