Bizonyitsuk be, hogy 13|3^ (n+2) +4^ (2n+1), ahol n eleme Z?

Nem látom, hogy indukcióval hogy jönne ki a megoldás, de van egy más típusú megoldásom.

Egyszerűen ha megnézed, hogy a 3 és 4 hatványok milyen maradékot adnak 13-mal osztva a kitevő függvényében, és utána n 3-as maradéka alapján összepárosítod a megfelelőket, akkor pont kijön az, aminek ki kell jönnie.

Ezt nem túl részletesen írtam le, csak vázlatosan a megolást, szóval ha valami nem világos, akkor szólj, és leírom a részleteket. :)

Teljes indukcióval:

n=1 esetén 13|3^3+4^3=91

Tegyük fel, hogy n=k-ra is igaz, azaz 13|3^(k+2)+4^(2k+1). Kérdés, hogy ekkor teljesül-e k+1-re is, azaz, hogy 13|3^(k+3)+4^(2k+3)? Tekintsük a két kifejezés különbségét, azaz 3^(k+3)+4^(2k+3)-3^(k+2)-4^(2k+1)-t. Ha ez osztható 13-mal, akkor készen vagyunk, hiszen a feltevés szerint 3^(k+2)+4^(2k+1) osztható 13-mal, így szükségképpen 3^(k+3)+4^(2k+3)-nak is oszthatónak kell lennie 13-mal.

3^(k+3)+4^(2k+3)-3^(k+2)-4^(2k+1)=3^(k+3)*(3-1)+4^(2k+1)(16-1)=2*(3^(k+2)+4^(2k+1))+13*4^(2k+1), ahol az első tag az indukciós feltevés miatt, a második tag pedig a 13-as szorzótényező miatt osztható 13-mal, így az állítást bebizonyítottuk.

Megjegyzés: A kérdésedben n nem a Z-nek eleme, hanem inkább N-nek, azaz n természetes szám.