Legyen n 2-nél nagyobb egész szám. Egy konvex m-szög három csúcsát kiválasztva 22/35 annak a valószínűsége, hogy a kiválasztott csúcsok által alkotott háromszögnek nincs közös oldala a háromszöggel. Határozzuk meg a sokszög oldalszámát. ?

Ez így lehet:

Legyen n 2-nél nagyobb egész szám! Egy konvex n-szög három csúcsét kiválasztva 22/35 annak a valószínűsége, hogy a kiválasztott csúcsok által alkotott háromszögnek nincs közös oldala a sokszöggel.

Rögzítsük a sokszög egy csúcsát. A fennmaradó n-1 csúcsból még kettőt kell választani, ezt (n-1 alatt 2)-féleképpen lehet megtenni.

Ahhoz hogy a kapott háromszögnek ne legyen közös oldala a sokszöggel, a két pontot a rögzített ponttal nem szomszédos n-3 pont közül lehet választani, ezt (n-3 alatt 2) féleképpen lehet megtenni.

Így:

22/35=(n-3 alatt 2)/(n-1 alatt 2)

22(n-2)(n-2)/2=35(n-3)(n-4)/2

Oldd meg ezt a másodfokú egyenletet!

"Ahhoz hogy a kapott háromszögnek ne legyen közös oldala a sokszöggel, a két pontot a rögzített ponttal nem szomszédos n-3 pont közül lehet választani, ezt (n-3 alatt 2) féleképpen lehet megtenni."

Sajnos ez még nem elég, az is kell, hogy a két kiválasztott pont ne legyen egymás mellett!

Számoljuk ki hány rossz háromszög van:

két szomszédos oldal be van húzva,ez n darab.

1 oldal van behúzva és egy másik pont ez n*(n-4)

Összesen n*(n-3)

Ellenőrzés: egy 6szögre ez 6*3=18 rossz és 20 van összesen, tehát 2 jó, ami tényleg igaz.

Az egyenlet, amit felírhatgunk:

n*(n-3) / [n*(n-1)*(n-2)/6]=13/35

Megoldva n=16 jön ki.