Miért igaz az, hogy gyök alatt sin (x) ^2-1 egyenlet leegyszerűsítve 0?

Ez így nem teljesen igaz. Az igaz inkább az, hogy ahol értelmes a függvény, ott a 0-t fogja felvenni.

Ez azért van, mert a sin(x) értékkészlete a [-1;1] intervallum, a sin^2(x)-é a [0;1] intervallum, a sin^2(x)-1-é pedig a [-1;0] intervallum. Itt csak akkor tudunk gyököt vonni (valósban), hogyha az értéke 0, gyök(0) értéke pedig 0.

Tehát ahol a függvény értelmes (x=pi/2+k*pi esetén, ahol k egész), ott a függvényérték 0 lesz.

Másik megközelítés; tudjuk, hogy

sin^2(x)+cos^2(x)=1. Adjunk hozzá a gyök alatti részhez cos^2(x)-et, de hogy értéke ne változzon, vegyük is el:

gyök[sin^2(x)+cos^2(x)-1-cos^2(x)]

Ez azért jó, mert így az első két tag összege 1 a fentiek szerint:

gyök[1-1-cos^2(x)] = gyök[-cos^2(x)]

cos^2(x) értéke mindenképp pozitív vagy 0, így a -cos^2(x) értéke vagy negatív vagy 0. Ebből csak úgy tudunk gyököt vonni, hogyha az értéke 0, ekkor viszont a függvényérték szintén 0 lesz.