Hogyan tudom igazolni, hogy két részcsoport uniója csak akkor lesz részcsoport, ha egyik tartalmazza a másikat?

Mutatsz példát két részcsoportra, amelyek közül egyik sem tartalmazza a másikat, és megmutatod, hogy az uniójuk nem részcsoport.

Például az [x,0] alakú ill. a [0,x] alakú egész vektorok csoportjainak uniója nem csoport az összeadással, mert [y,0] + [0,z] = [y,z], ami általában nincs benne az unióban.

Ja nem, hülye vagyok, a csakot úgy kell érteni, hogy máshogy soha nem lesz részcsoport; nem elég egy példát mutatni.

Azt kell bizonyítani, hogy ha uniójuk részcsoport, akkor egyik tartalmazza a másikat. Legyen ehhez A és B a két részcsoport, a származzon A-ból, b pedig B-ből. Ha a+b B-ben van, akkor (a + b) + (-b) = a + (b + (-b)) = a + 0 = a is, másszóval ekkor A < B. Ha pedig a+b A-ban van, akkor (-a) + (a + b) = ((-a) + a) + b = 0 + b = b mutatja, hogy b is, vagyis ekkor meg B < A.