Hogyan kell megcsinálni ezt?

Úgy, ahogyan az első írja, ekkor q^n helyére be tudod írni a 31q-30-at, és lesz belőle egy szép másodfokú egyenlet.

A feladat jellegéből fakadóan azonban kvázi próbálgatással is meg lehet oldani. Tudjuk, hogy

3*q^(n-1) <= 90, (nyilván ha az összeg 93, akkor a legnagyobb tag nem lehet nagyobb 90-nél) rendezés után

q =< "(n-1)-edikgyök"(30)

Első körben szögezzük le, hogy mivel a 3 prímszám, ezért csak úgy lehet a többi tag egész (ha legalább 3 tagból áll a sorozat), hogyha a kvóciens egész, ennek egyébként roppant egyszerű a bizonyítása; legyen q=r/s, ahol (r;s)=1 (tehát r és s legnagyobb közös osztűja 1), és r;s pozitív, ekkor a harmadik tag 3*(r/s)^2=(3r^2)/s^2 lesz; értelemszerűen ez csak úgy lehet egész, hogyha s^2=1, vagyis s=1, ekkor q=r/1=r, tehát a kvóciens csak egész lehet.

(Ha az első tag mondjuk 32 lenne, akkor a kvóciens akkor is egész számot adna a hatodik tagig, hogyha például 11/2 lenne a kvóciens, ezért kell ezt megállapítani. Ebből igazából az is következik, hogy ha valami hasonló lenne az első tag, akkor a direktszámítás hamarabb eredményre vinne, mivel a "próbálgatás" túl sok irányba mehetne el.)

Nézzük a különböző n-ek esetén mi történik:

n=2 esetén q<=30

n=3 esetén q<=gyök(30)=~5,5

n=4 esetén q<=köbgyök(30)=~3,11

n=5 esetén: q<=negyedikgyök(30)=~2,34

n=6 esetén: q<=ötödikgyök(30)=~1,98, és itt már meg is állhatunk, mivel növekvő számsorról van szó, tehát legfeljebb öttagú lehet a sorozat, és értelemszerűen ha a 30-ból nagyobb gyökszámmal vonunk gyököt, az eredmény ennél is kisebb lesz.

Innen végig lehet próbálni (mivel nincs sok eset), hogy

ha n=5, akkor q=2, így 3+6+12+24+48=93, a reciprokösszeget rád bízom, tehát már egy megoldást mindenképp találtunk.

ha n=4, akkor q=3 esetén 3+9+27+81=sok, q=2 esetén 3+6+12+24=nyilván kevés, mivel n=5-re volt az összeg 93.

ha n=3 esetén

-ha q=2, kevés lesz

-ha q=3, akkor 3+9+27=39, ami kevés

-ha q=4, akkor 3+12+48=63, ami szintén kevés

-ha q=5, akkor 3+15+75=93, ami akár jó is lehetne, de a reciprokösszeg nem fog stimmelni.

ha n=2, akkor a második tag csak a 90 lehet, mert így lesz az összegük 93, viszont reciprokaik összege meg nem annyi, amennyi kell.

Mivel minden szóba jöhető lehetőséget végignéztünk, ezért csak egyféle megoldás lehetséges: 3;6;12;24;48

Látható, hogy összesen 8 esetet kellett végignézni. Annyira nem volt vészes.

Persze nem olyan elegáns, mint az egyenletrendszeres levezetés, de a cél szentesíti az eszközt.