Kombinatorika házifeladatban segítene valaki?

Az a, résznél erre a számításra, hogy x alatt a 4 van egy képlet is, a tankönyvben biztos megvan. (Egy tört ami faktoriálisokkal számol). Azzal kell számolni.

A b, részben arra gondolnék, hogy ha Lajos mindenképpen megy, akkor őt nem kell figyelembe venni a számításnál. Tehát ha 12 emberből választasz ki 4et, akkor itt őt nem veszed bele, vagyis 11 emberből választasz ki 3at.

Remélem, tudtam segíteni :)

A jobb érthetőség kedvéért számoljunk úgy, hogy az első helyre választható x ember, utána (x-1) ember, és így tovább (x-3)-ig, de mivel a sorrendjük nem számít, osztunk 4!=24-gyel, ekkor az egyenlet:

x*(x-1)*(x-2)*(x-3)/24 = 495, szorzunk 24-gyel

x*(x-1)*(x-2)*(x-3) = 11880 (ez az egyenlet persze kijön az (x alatt a 4)=495 egyenletből is)

Innen egy rakat módon tovább lehet menni. Én ezt javaslom; becsüljük felülről a bal oldalt úgy, hogy minden tényező x legyen, értelemszerűen ekkor a bal oldal nagyobb lesz 11880-nál, tehát

x*x*x*x > 11880, erre x>10,44 adódik.

Ezután becsüljük alulról a bal oldalt:

(x-3)*(x-3)*(x-3)*(x-3) < 11880, erre x<13,44 jön ki.

Értelemszerűen a két egyenlőtlenségnek egyszerre kell teljesülnie, így x-re a lehetséges megoldások: 11, 12, 13. Ezeket végig kell nézni, hogy melyik jó, és meg is vagy.

De lehet az oszthatósággal is számolni; ha felírod a 11880 prímtényezős alakját, látni fogod, hogy osztható 11-gyel, tehát a négytényezős szorzatban benne kell lennie a 11-nek vagy többszörösének, de a 22-t (pláne nagyobb, 11 többszörösét) tartalmazó szorzatok szemmel láthatóan is nagyobbak lesznek, tehát a 11 benne kell, hogy legyen a szorzatban. Az is látható, hogy 13-mal nem osztható, sem 7-tel, valamint csak háromszor osztható a 2-vel, így a 8-as nem lehet a szorzatban (mert biztos, hogy mellette lenne még egy páros szám, amiben van 2-es szorzó), így egyetlen jelölt marad: 9,10,11,12, ezt még persze tesztelni kell, hogy jó-e, és ha jó, akkor az x=12 az egyetlen (pozitív, 3-nál nagyobb egész) megoldása az egyenletnek, így a feladatnak is.