Igazolja, hogy 30 osztja ((11^11) + (12^12) + (13^13))-t ?

Az odáig rendben van, hogy kiemelted a 11*12*13-at, de a másik tényező egész?

Sokkal egyszerűbben is lehet a 3-mal való oszthatóságot bizonyítani.

"Szóval kiemelek 11*12*13-at : 11*12*13*{[(11^10)/156]+[(12^12)/1716]+[(13^3)/1716}."

-> Ennek csak akkor van értelme, ha a zárójelekben levő törtek egész számok. De nyilvánvalóan nem azok. Enyi erővel bármilyen A+B+C osztható hárommal, mert A+B+C=3*(A/3+B/3+C/3)...

(11^11) + (12^12) + (13^13) kongruens ((-1)^11) + (0^12) + (1^13) -nal modulo 3.

Innen a tiéd.

Mivel a középiskolás, feltételezem, hogy nem nagyon tanult még kongruenciákról. Persze ettpl még az is jó megoldás.

A 3-mal való oszthatóság ugyanúgy belátható, mint ahogyan a 10-zel való osztahtóságot vizsgáltad, és valójában elég csak a 3-as maradékokkal játszani;

11 3-as maradéka 2

11^2=121 3-as maradéka 1, amit úgy is megkaptál volna, hogyha 2*11=22 3-as maradékát veszed. Folytatva a gondolatmenetet:

11^3 3-as maradéka = 1*11 3-as maradéka = 2

Innen már lehet látni az ismétlődést.

A 12^12 érthető okokból osztható 3-mal.

A 13^13 esetén is végig lehet játszani. A maradékokat összeadod, és ha a maradékok összege osztható 3-mal, akkor az eredeti is.

Van ennél egy picit (szerintem) szebb megoldás;

-tudjuk, hogy az a^n+b^n kifejezésben ha n páratlan, akkor kiemelhető belőle a+b. A 12^12-nel nem foglakozunk, csak a másik két hatvánnyal. Emiatt a 11^11+13^11 osztható lesz 3-mal, mert kiemelhető belőle 11+13=24, ami osztható 3-mal.

-ha két szám osztható ugyanazzal a számmal, akkor összegük/különbségük is. Tegyük fel, hogy a 11^11+13^13 osztható 3-mal, akkor a (11^11+13^13)-(11^11+13^11) különbség is. Ha elvégezzük a kivonást, akkor 13^13-13^11 marad. Itt ki tudunk emelni 13^11-nt: 13^11*(13^2-1). Az első tényező biztosan nem osztható 3-mal, így a másodikat kell néznünl. Mivel nem túl nagy számról van szó, akár manuálisan is kiszámolható; 168, ami osztható 3-mal. De úgy is bizonyíthatjuk, hogy a tanultak alapján 13^2-1 = (13-1)*(13+1)=12*14, ami osztható 3-mal a 12 miatt.

Visszafelé nézve: 13^13-13^11 osztható 3-mal, 11^11+13^11 is osztható 3-mal, így kettejük összege is osztható 3-mal: (13^13-13^11)+(11^11+13^11) = 11^11+13^13.

(12-1)^11+12^12+(12+1)^13 12-es maradéka -1+0+1=0, osztható 12-vel.

(10+1)^11+(10+2)^12+(10+3)^13 5-ös maradéka 1+2^12+3^13 5-ös maradéka

A 2 hatványok ötös maradékai: 2, 4, 3, 1, ...

A 3 hatványok ötös maradékai: 3, 4, 2, 1, ...

A vizsgált összeg ötös maradéka: 1+1+3=5, azaz 0, osztható 5-tel

Ellenőrzés képpen:

312076518711120 = 2^4*3^2*5*433439609321